Thử thách kỹ năng hình học không gian Oxyz của bạn!
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A(1, 2, 3)\), \(B(0, 0, 2)\) và \(C(1, 0, 2)\). Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng BC. Tọa độ của H là gì?
Đáp án đúng là B.
Bài này dễ vì có yếu tố đặc biệt, không cần tính toán phức tạp!
Ta thấy tam giác ABC có \( A(1,2,3) \), \( B(0,0,2) \), \( C(1,0,2) \). Dễ thấy B và C có cùng tung độ y=0 và cao độ z=2. Đường thẳng BC là đường thẳng song song với trục Ox, có phương trình \( y=0, z=2 \).
Chân đường cao H hạ từ A xuống đường thẳng BC chính là điểm có tọa độ x giống A, và y,z giống BC. Vậy H có tọa độ \( (1,0,2) \). Đây chính là điểm C, có nghĩa là tam giác ABC vuông tại C. Ồ quao!
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 2, 0)\), \(C(0, 0, 3)\). Tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống BC là:
Đáp án đúng là A.
1. Vector chỉ phương của BC là \( \vec{u} = \vec{BC} = (0, -2, 3) \).
2. Chân đường cao H nằm trên đường thẳng BC nên H có tọa độ dạng \( H(0, 2-2t, 3t) \).
3. Vector \( \vec{AH} = (-1, 2-2t, 3t) \).
4. Vì \( AH \perp BC \), nên tích vô hướng \( \vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0 \).
\( \Rightarrow (-1)(0) + (2-2t)(-2) + (3t)(3) = 0 \)
\( \Rightarrow -4 + 4t + 9t = 0 \)
\( \Rightarrow 13t = 4 \Rightarrow t = \frac{4}{13} \)
5. Thay \( t = \frac{4}{13} \) vào tọa độ H:
\( H(0, 2 - 2 \cdot \frac{4}{13}, 3 \cdot \frac{4}{13}) = H(0, \frac{26-8}{13}, \frac{12}{13}) = H(0, \frac{18}{13}, \frac{12}{13}) \). Xong phim!
Câu 3: Cho 3 điểm \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, 4)\) và \(C(3, 5, 7)\). Nhận định sau đúng hay sai: "Ba điểm A, B, C thẳng hàng, do đó không tồn tại chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng BC."
Đáp án đúng là ❌ Sai.
1. Xét 2 vector \( \vec{AB} = (1, 2, 3) \) và \( \vec{AC} = (2, 4, 6) \).
2. Ta thấy \( \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AB} \). Điều này chứng tỏ ba điểm A, B, C thẳng hàng.
3. Tuy nhiên, nhận định "không tồn tại chân đường cao" là sai. Khi A nằm trên đường thẳng BC, chân đường cao H hạ từ A xuống chính đường thẳng đó... trùng luôn với A! Do đó H có tọa độ là \( (1, 1, 1) \).
Câu 4: Cho tam giác ABC với \( A(1,2,1), B(4,2,1), C(1,5,1) \). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống AC. Nhận định sau đúng hay sai: "Điểm H trùng với điểm A."
Đáp án đúng là ✅ Đúng.
Cách nhanh nhất để kiểm tra là xem tam giác ABC có vuông tại A không. Nếu có, chân đường cao từ B xuống AC chính là A.
1. Tính vector \( \vec{AB} = (3, 0, 0) \).
2. Tính vector \( \vec{AC} = (0, 3, 0) \).
3. Tính tích vô hướng: \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3)(0) + (0)(3) + (0)(0) = 0 \).
Vì tích vô hướng bằng 0, nên \( AB \perp AC \). Tam giác ABC vuông tại A. Do đó, chân đường cao H chính là đỉnh A. Quá chuẩn!
Câu 5 (Sửa đổi): Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(12, 1, 1)\), \(B(1, 1, 2)\) và \(C(3, 5, 6)\). Tìm tọa độ chân đường cao H(x, y, z) hạ từ A xuống đường thẳng BC.
Đáp án đúng là x=2, y=3, z=4.
1. Vector chỉ phương của BC là \( \vec{u} = \vec{BC} = (2, 4, 4) \). Ta có thể dùng vector đơn giản hơn cùng phương là \( \vec{v} = (1, 2, 2) \).
2. Chân đường cao H nằm trên đường thẳng BC (đi qua B, VTCP \(\vec{v}\)) nên H có dạng: \( H(1+t, 1+2t, 2+2t) \).
3. Vector \( \vec{AH} = (1+t-12, 1+2t-1, 2+2t-1) = (t-11, 2t, 2t+1) \).
4. Vì \( AH \perp BC \), nên \( \vec{AH} \cdot \vec{v} = 0 \).
\( \Rightarrow (t-11)(1) + (2t)(2) + (2t+1)(2) = 0 \)
\( \Rightarrow t - 11 + 4t + 4t + 2 = 0 \)
\( \Rightarrow 9t - 9 = 0 \Rightarrow t = 1 \)
5. Thay \(t=1\) vào tọa độ của H: \( H(1+1, 1+2(1), 2+2(1)) = H(2, 3, 4) \). Tọa độ đẹp như mơ!
Câu 6 (Mới): Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(7, 3, 6)\), \(B(2, 5, 1)\) và \(C(2, 5, 9)\). Tìm tọa độ chân đường cao H(x, y, z) hạ từ A xuống đường thẳng BC.
Đáp án đúng là x=2, y=5, z=6.
Bài này có một điểm rất đặc biệt, hãy cùng khám phá nhé!
1. Nhìn vào tọa độ B và C, ta thấy chúng có cùng hoành độ (x=2) và cùng tung độ (y=5). Điều này có nghĩa là đường thẳng BC song song với trục Oz.
2. Chân đường cao H hạ từ điểm A xuống một đường thẳng song song với trục Oz sẽ là một điểm có hoành độ và tung độ giống với đường thẳng đó, và có cao độ giống với điểm A.
3. Do đó, H phải có x=2, y=5 (giống BC) và z=6 (giống A).
Vậy tọa độ của H là \( (2, 5, 6) \). Nhận ra mẹo này thì bài toán được giải quyết trong vòng một nốt nhạc!