1. Cho \(\vec{a} = (1, 2, 3)\) và \(\vec{b} = (2, -1, 1)\). Tính \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
\( 0 \)
\( 5 \)
\( 3 \)
\( 4 \)
Bí kíp (Tọa độ): Ta dùng công thức \(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\).
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \times 2) + (2 \times -1) + (3 \times 1) = 2 - 2 + 3 = 3 \).
2. Cho \(|\vec{u}|=4\), \(|\vec{v}|=5\), góc giữa \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) là 60°. Tính \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
\( 20 \)
\( 10\sqrt{3} \)
\( 10 \)
\( -10 \)
Bí kíp (Hình học): Công thức này dùng chung cho cả 2D và 3D!
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 4 \times 5 \times \cos(60^{\circ}) = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \).
Cấp độ: Chuyên Gia Không Gian 🌌
3. Cho \(\vec{a} = (2, -1, 4)\). Tính \(\vec{a}^2\) (tức là \(\vec{a} \cdot \vec{a}\)).
\( 19 \)
\( 5 \)
\( 21 \)
\( \sqrt{21} \)
Bí kíp (Tính chất): Bình phương vô hướng \(\vec{a}^2\) bằng bình phương độ dài \(|\vec{a}|^2\).
\( \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (4)^2 = 4 + 1 + 16 = 21 \).
4. Vector nào sau đây vuông góc với \(\vec{v} = (1, 3, -2)\)?
\( (1, 1, 2) \)
\( (1, 3, 2) \)
\( (-1, -3, 2) \)
\( (2, 6, -4) \)
Bí kíp (Vuông góc): Hai vector vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
Ta kiểm tra đáp án A: \( (1 \times 1) + (3 \times 1) + (-2 \times 2) = 1 + 3 - 4 = 0 \). Chuẩn luôn!
Bảng Xếp Hạng: Sàn Đấu Oxyz
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Lính Mới Oxyz 🚀
1. Tích vô hướng của hai vector trong không gian 3D là một vector. Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Sai! Tên gọi "vô hướng" (scalar) đã nói lên tất cả. Kết quả *luôn* là một con số, không phải vector. (Bạn có thể đang nhầm với "tích có hướng" - cross product).
2. Cho \(\vec{a} = (1, 1, 1)\) và \(\vec{b} = (1, -2, 1)\). Khi đó \(\vec{a}\) vuông góc \(\vec{b}\). Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Đúng! Ta kiểm tra tích vô hướng:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \times 1) + (1 \times -2) + (1 \times 1) = 1 - 2 + 1 = 0 \).
Tích vô hướng bằng 0 nên chúng vuông góc!
Cấp độ: Chuyên Gia Không Gian 🌌
3. Cho \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\). Tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Sai! Ta cần kiểm tra \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\).
\(\vec{AB} = (-1, 1, 0)\).
\(\vec{AC} = (-1, 0, 1)\).
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(-1) + (1)(0) + (0)(1) = 1 \neq 0\).
(Thực ra, đây là tam giác đều!)
4. Nếu \(\vec{a}\) vuông góc \(\vec{b}\) và \(\vec{a}\) vuông góc \(\vec{c}\) thì \(\vec{b}\) song song \(\vec{c}\). Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Sai! Đây là cái bẫy tư duy 2D!
Trong không gian 3D, hãy tưởng tượng 3 trục Oxyz.
Cho \(\vec{a} = \vec{i}\) (trục Ox), \(\vec{b} = \vec{j}\) (trục Oy), \(\vec{c} = \vec{k}\) (trục Oz).
\(\vec{a}\) vuông góc với cả \(\vec{b}\) và \(\vec{c}\), nhưng \(\vec{b}\) và \(\vec{c}\) lại vuông góc với nhau!
Bảng Xếp Hạng: Quyết Chiến Góc Vuông 3D
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Lính Mới Oxyz 🚀
1. Cho \(\vec{a} = (2, 0, 5)\) và \(\vec{b} = (1, 10, -1)\). Tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{b} = ?\)
4. Cho \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) ngược chiều, \(|\vec{a}|=5\) và \(|\vec{b}|=3\). Tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{b} = ?\)
Bí kíp: Hai vector ngược chiều nghĩa là góc giữa chúng là \(180^{\circ}\).
Mà \(\cos(180^{\circ}) = -1\).
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(180^{\circ}) = 5 \times 3 \times (-1) = -15 \).