1. Cho \(\vec{a} = (1, 2)\) và \(\vec{b} = (3, -1)\). Tính \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
\( 5 \)
\( 1 \)
\( -1 \)
\( 6 \)
Bí kíp (Tọa độ): Ta dùng công thức \(x_1x_2 + y_1y_2\).
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \times 3) + (2 \times -1) = 3 - 2 = 1 \).
2. Cho \(|\vec{u}|=2\), \(|\vec{v}|=3\), góc giữa \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) là 60°. Tính \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
\( 6 \)
\( 3\sqrt{3} \)
\( 3 \)
\( -3 \)
Bí kíp (Hình học): Ta dùng công thức \(|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})\).
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 \times \cos(60^{\circ}) = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \).
Cấp độ: Cao Thủ 🦸
3. Cho \(\vec{a} = (3, 4)\). Tính \(\vec{a}^2\) (tức là \(\vec{a} \cdot \vec{a}\)).
\( 7 \)
\( 5 \)
\( 25 \)
\( 12 \)
Bí kíp (Tính chất): Bình phương vô hướng \(\vec{a}^2\) bằng bình phương độ dài \(|\vec{a}|^2\).
1. \(\vec{a} \cdot \vec{a} = (3 \times 3) + (4 \times 4) = 9 + 16 = 25\).
2. Hoặc: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Vậy \(|\vec{a}|^2 = 5^2 = 25\).
4. Vector nào sau đây vuông góc với \(\vec{v} = (2, -4)\)?
\( (4, 2) \)
\( (2, 4) \)
\( (-2, 4) \)
\( (1, 2) \)
Bí kíp (Vuông góc): Hai vector vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
Ta kiểm tra đáp án A: \( (2 \times 4) + (-4 \times 2) = 8 - 8 = 0 \). Chuẩn luôn!
Bảng Xếp Hạng: Sàn Đấu Tọa Độ
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Lính Mới 🛡️
1. Tích vô hướng của hai vector luôn là một số dương. Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Sai! Tích vô hướng là một **số**, số đó có thể âm (nếu góc tù), dương (nếu góc nhọn) hoặc bằng 0 (nếu góc vuông).
2. Cho \(\vec{a} = (1, 1)\) và \(\vec{b} = (-1, 1)\). Khi đó \(\vec{a}\) vuông góc \(\vec{b}\). Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Đúng! Ta kiểm tra tích vô hướng:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \times -1) + (1 \times 1) = -1 + 1 = 0 \).
Tích vô hướng bằng 0 nên chúng vuông góc!
Cấp độ: Cao Thủ 🦸
3. Nếu \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) thì bắt buộc \(\vec{a} = \vec{0}\) hoặc \(\vec{b} = \vec{0}\). Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Sai! Đây là cái bẫy kinh điển!
Nếu \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), chúng có thể đơn giản là **vuông góc** với nhau (như câu 2) mà không cần vector nào bằng \(\vec{0}\).
4. Cho \(\vec{u}=(2, 3)\) và \(\vec{v}=(-3, 2)\). Tích vô hướng của chúng là 12. Đúng hay sai?
3. Cho \(\vec{v} = (3, -2)\) và \(\vec{w} = (k, 6)\). Để \(\vec{v}\) vuông góc \(\vec{w}\) thì \(k = ?\)
Bí kíp: Để vuông góc, tích vô hướng phải bằng 0.
\( \vec{v} \cdot \vec{w} = (3 \times k) + (-2 \times 6) = 3k - 12 \).
\( 3k - 12 = 0 \implies 3k = 12 \implies k = 4 \).
4. Cho \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng chiều, \(|\vec{a}|=3\) và \(|\vec{b}|=4\). Tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{b} = ?\)
Bí kíp: Hai vector cùng chiều nghĩa là góc giữa chúng là \(0^{\circ}\).
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(0^{\circ}) = 3 \times 4 \times 1 = 12 \).