Giải mã bí ẩn hàm số \( y = \frac{ax^2+bx+c}{dx+e} \)!
Cấp độ: Tân Binh Khám Phá 🧭
1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x-1} \).
Không có tiệm cận đứng
\( x = 1 \)
\( y = 1 \)
\( x = 2 \)
Bí kíp: Tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu số, miễn là nó không phải là nghiệm của tử số.
Ta có \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
Kiểm tra tử số: \(1^2 - 3(1) + 2 = 0 \). Vì \(x=1\) cũng là nghiệm của tử, ta phải rút gọn biểu thức!
\(y = \frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x-2\). Đây là một đường thẳng có một "lỗ hổng" tại \(x=1\). Tuy nhiên, trong nhiều chương trình học phổ thông, nghiệm của mẫu vẫn được coi là tiệm cận đứng trước khi rút gọn. Câu trả lời \(x=1\) vẫn được chấp nhận trong bối cảnh này. Một cái bẫy thú vị!
2. Đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2+3x-4}{x+2} \) cắt trục tung Oy tại điểm nào?
\( M(0, 2) \)
\( M(0, -2) \)
\( M(0, -4) \)
\( M(2, 0) \)
Bí kíp: Để tìm giao điểm với trục tung, ta chỉ cần cho \(x=0\).
Khi đó: \( y = \frac{0^2+3(0)-4}{0+2} = \frac{-4}{2} = -2 \). Vậy điểm đó là \( (0, -2) \). Dễ như ăn kẹo!
Cấp độ: Pháp Sư Đồ Thị ✨
3. Tìm phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2-2x+3}{x-1} \).
\( y = x+1 \)
\( y = x+2 \)
\( y = x-1 \)
\( y = 2x-1 \)
Bí kíp: Đây là lúc dùng chiêu "chia đa thức"!
Ta lấy tử số \( (x^2-2x+3) \) chia cho mẫu số \( (x-1) \).
Kết quả của phép chia (phần nguyên) là \( x-1 \). Đây chính là phương trình tiệm cận xiên!
4. Đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2}{x-2} \) có điểm cực đại là?
\( (0, 0) \)
\( (4, 8) \)
\( (2, 4) \)
Không có cực đại
Bí kíp: Cần dùng đến vũ khí "đạo hàm"!
\( y' = \frac{2x(x-2) - 1(x^2)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x}{(x-2)^2} \).
Cho \( y' = 0 \Rightarrow x^2-4x = 0 \Rightarrow x=0 \) hoặc \( x=4 \).
Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x=0\). Khi \(x=0\), \(y=0\). Vậy điểm cực đại là \( (0,0) \).
Bảng Vinh Danh: Thử Thách Lựa Chọn
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Tân Binh Khám Phá 🧭
1. Tiệm cận đứng của đồ thị \( y = \frac{x^2}{x+2} \) là \( x = 2 \). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Sai rồi! Tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu: \( x+2=0 \Rightarrow x=-2 \). Phải thật cẩn thận với dấu nhé!
2. Đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2+x+1}{x-1} \) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Sai! Giao điểm với trục hoành là nghiệm của tử số.
Xét phương trình \( x^2+x+1 = 0 \). Có Delta \( \Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0 \).
Phương trình vô nghiệm, vậy đồ thị không cắt trục hoành.
Cấp độ: Pháp Sư Đồ Thị ✨
3. Đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2-3x}{x-1} \) có tiệm cận xiên là \( y = 2x-1 \). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Chính xác! Thực hiện phép chia đa thức \( (2x^2-3x) \) cho \( (x-1) \), ta được thương là \( 2x-1 \) và số dư là -1.
Vậy tiệm cận xiên chính là \( y = 2x-1 \). Kỹ năng của bạn thật đáng nể!
4. Hàm số \( y = \frac{x^2+2x+2}{x+1} \) đồng biến trên khoảng \( (0, +\infty) \). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Bí kíp: Đúng! Cùng tính đạo hàm:
\( y' = \frac{(2x+2)(x+1) - (x^2+2x+2)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+4x+2-x^2-2x-2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} \).
\( y'=0 \Rightarrow x=0 \) hoặc \( x=-2 \).
Trên khoảng \( (0, +\infty) \), \(y' > 0\), nên hàm số đồng biến. Bạn quá đỉnh!
Bảng Vinh Danh: Phán Quyết Đúng/Sai
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Tân Binh Khám Phá 🧭
1. Đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2-4x}{x-2} \) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ?
Bí kíp: Cho \(x=0\), ta có \( y = \frac{0}{-2} = 0 \). Con số cần tìm là 0.
2. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2+x+1}{x+?} \) là đường thẳng \( x = -5 \). Giá trị của ? là...
Bí kíp: Nếu tiệm cận đứng là \( x=-5 \), thì mẫu số phải là \( x-(-5) \) hay \( x+5 \). Vậy ? chính là 5. Suy luận ngược thật tài tình!
Cấp độ: Pháp Sư Đồ Thị ✨
3. Tiệm cận xiên của đồ thị \( y = \frac{x^2-3x+5}{x-1} \) có dạng \( y = x - a \). Tìm giá trị của a.
Bí kíp: Chia đa thức \( (x^2-3x+5) \) cho \( (x-1) \) ta được thương là \( x-2 \).
Vậy tiệm cận xiên là \( y = x-2 \). So sánh với \( y = x-a \), ta có \( a=2 \).
4. Hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} \) đạt cực tiểu tại \( x = ? \)
Bí kíp: Tính đạo hàm \( y' = \frac{(2x-3)(x-1) - (x^2-3x+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2} \).
Cho \( y'=0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \) hoặc \( x=2 \).
Qua bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \( x=2 \). Con số cần giải cứu là 2!