Sử dụng đồ thị để tìm ra các đỉnh cao và vực sâu của hàm số!
Cấp độ: Nhà Leo Núi Mới Nổi 🧗
1. Quan sát đồ thị hàm số \(y=f(x)\) dưới đây. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?
0
1
2
3
Lộ trình: Điểm cực đại của hàm số trên đồ thị là "đỉnh núi". Nhìn vào hình, ta thấy có duy nhất 1 "đỉnh núi". Vậy đáp án là 1. Dễ như đi dạo công viên!
2. Dựa vào đồ thị của đạo hàm \(y=f'(x)\), hàm số \(y=f(x)\) đạt cực tiểu tại điểm nào?
\(x = -1\)
\(x = 1\)
\(x = 3\)
Không có
Lộ trình: Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu khi đạo hàm \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương. Nhìn đồ thị \(f'(x)\), ta thấy tại \(x=3\), đồ thị đi từ dưới trục Ox (âm) lên trên trục Ox (dương). Vậy \(x=3\) là điểm cực tiểu.
Cấp độ: Chuyên Gia Chinh Phục 🏆
3. Cho đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình. Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\((-\infty; -2)\)
\((-2; 1)\)
\((1; +\infty)\)
\((-1; 0)\)
Lộ trình: Hàm số \(f(x)\) đồng biến khi \(f'(x) > 0\). Điều này tương ứng với phần đồ thị của \(f'(x)\) nằm phía trên trục hoành. Dựa vào hình, ta thấy đồ thị \(f'(x)\) nằm trên trục hoành trong khoảng \((-2; 1)\).
4. Hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình. Giá trị cực đại của hàm số là bao nhiêu?
\(x = -1\)
\(y = 0\)
\(y_{CĐ} = 4\)
\(x = 2\)
Lộ trình: Cẩn thận kẻo bị lừa! Câu hỏi là "giá trị cực đại" (là y) chứ không phải "điểm cực đại" (là x). Nhìn vào đỉnh núi của đồ thị, ta thấy điểm đó có tọa độ \((-1, 4)\). Vậy giá trị cực đại là \(y=4\).
Bảng Thành Tích: Thử tài Tinh mắt
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Nhà Leo Núi Mới Nổi 🧗
1. Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) dưới đây có 2 điểm cực trị. Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Lộ trình: Chuẩn luôn! Điểm cực trị bao gồm cả cực đại ("đỉnh núi") và cực tiểu ("thung lũng"). Đồ thị này có 1 đỉnh và 1 thung lũng, tổng cộng là 2 điểm cực trị.
2. Nếu \(f'(x_0) = 0\) thì hàm số \(y=f(x)\) chắc chắn đạt cực trị tại \(x_0\). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Lộ trình: Sai! Đây là một chiếc bẫy kinh điển! Điều kiện cần là \(f'(x_0) = 0\), nhưng điều kiện đủ là \(f'(x)\) phải đổi dấu khi đi qua \(x_0\). Ví dụ hàm \(y=x^3\) có \(y'=0\) tại \(x=0\) nhưng không có cực trị.
Cấp độ: Chuyên Gia Chinh Phục 🏆
3. Cho đồ thị \(f'(x)\) như hình. Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x=0\). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Lộ trình: Sai rồi! Hàm số đạt cực đại khi \(f'(x)\) đổi dấu từ DƯƠNG sang ÂM. Đồ thị này cho thấy tại \(x=0\), \(f'(x)\) đi từ dưới lên trên, tức là đổi dấu từ ÂM sang DƯƠNG. Vậy đây là điểm cực tiểu.
4. Cho đồ thị \(f'(x)\). Hàm số \(g(x) = f(x) - x\) đạt cực tiểu tại \(x=1\). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Lộ trình: Wow, một câu hỏi thử thách! Ta có \(g'(x) = f'(x) - 1\). Để tìm cực trị của \(g(x)\), ta xét \(g'(x)=0 \Leftrightarrow f'(x)=1\). Nhìn vào đồ thị, tại \(x=1\), ta có \(f'(1)=1\). Xung quanh điểm đó, nếu \(x < 1\) thì \(f'(x)<1 \Rightarrow g'(x)<0\) và nếu \(x>1\) thì \(f'(x)>1 \Rightarrow g'(x)>0\). Vậy \(g'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương tại \(x=1\). Kết luận này là Đúng!
Bảng Thành Tích: Đúng hay Sai?
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Nhà Leo Núi Mới Nổi 🧗
1. Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) bên dưới có tổng cộng bao nhiêu điểm cực trị?
Lộ trình: Ta chỉ cần đếm số "đỉnh núi" và "thung lũng". Đồ thị có 1 đỉnh và 2 thung lũng. Tổng cộng là \(1+2=3\) điểm cực trị.
2. Hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = ?\)
Lộ trình: Điểm cực tiểu là điểm ứng với "thung lũng" của đồ thị. Nhìn vào trục hoành, ta thấy điểm này có hoành độ là \(x=2\).
Cấp độ: Chuyên Gia Chinh Phục 🏆
3. Cho đồ thị của đạo hàm \(y=f'(x)\). Hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Lộ trình: Số điểm cực trị của \(f(x)\) là số nghiệm của \(f'(x)=0\) mà tại đó \(f'(x)\) đổi dấu. Nhìn vào đồ thị, \(f'(x)\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và đều đổi dấu tại 2 điểm này. Vậy có 2 điểm cực trị.
4. Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) như hình. Hiệu giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là bao nhiêu?
Lộ trình: Từ đồ thị, ta thấy giá trị cực đại (tung độ của đỉnh) là \(y_{CĐ} = 3\). Giá trị cực tiểu (tung độ của đáy) là \(y_{CT} = -1\). Vậy hiệu của chúng là \(3 - (-1) = 4\). Con số cần điền là 4.