🏆 Leo Đỉnh Cực Trị - Bạn Dám Thử Không? 🏆

Câu 1: "Nhập môn" nào! Hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Đáp án đúng là C.

Giải thích siêu dễ hiểu:

  1. Tính đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 6x\).
  2. Cho \(y' = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).
  3. Vì \(y'\) đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm này, nên hàm số có 2 điểm cực trị. Quá đơn giản!

Câu 2: "Tăng độ khó"! Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 3\) là:

Đáp án đúng là C.

Bí kíp võ công:

  1. Tính đạo hàm: \(y' = 4x^3 - 4x\).
  2. Cho \(y' = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x=0, x=1, x=-1\).
  3. Tính đạo hàm cấp hai: \(y'' = 12x^2 - 4\).
    • \(y''(0) = -4 < 0 \Rightarrow\) x=0 là điểm cực đại.
    • \(y''(\pm 1) = 8 > 0 \Rightarrow\) x=1 và x=-1 là các điểm cực tiểu.
  4. Với \(x=\pm 1\), ta có \(y = 1-2+3=2\). Vậy có 2 điểm cực tiểu là (1, 2) và (-1, 2). Bạn làm tốt lắm!

Câu 3: "Trùm cuối"! Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2-1)x\) đạt cực đại tại \(x=1\).

Đáp án đúng là B.

Giải mã ma trận:

  1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x=1 là \(y'(1) = 0\).
  2. Ta có \(y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2-1)\).
  3. \(y'(1) = 3 - 6m + 3m^2 - 3 = 3m^2 - 6m = 0 \Rightarrow 3m(m-2) = 0 \Rightarrow m=0\) hoặc \(m=2\).
  4. Điều kiện đủ là \(y''(1) < 0\). Ta có \(y'' = 6x - 6m\).
  5. \(y''(1) = 6 - 6m\).
    • Với \(m=0\), \(y''(1) = 6 > 0 \Rightarrow\) x=1 là điểm cực tiểu (Loại).
    • Với \(m=2\), \(y''(1) = 6 - 12 = -6 < 0 \Rightarrow\) x=1 là điểm cực đại (Nhận).
  6. Vậy m=2 là giá trị cần tìm. Xuất sắc!

Câu 4: Nếu \(f'(x_0) = 0\) thì hàm số \(f(x)\) chắc chắn đạt cực trị tại điểm \(x_0\). Đúng hay sai?

Đáp án: Sai.

Phá bẫy: Đây là một "cú lừa" kinh điển! Điều kiện cần là \(f'(x_0) = 0\), nhưng điều kiện đủ là đạo hàm phải đổi dấu khi đi qua \(x_0\). Ví dụ hàm \(y=x^3\), có \(y'=3x^2\) và \(y'(0)=0\), nhưng hàm số không có cực trị tại x=0. Hãy luôn cẩn thận nhé!

Câu 5: Hàm số có thể không có đạo hàm tại điểm cực trị của nó. Đúng hay sai?

Đáp án: Đúng.

Ví dụ "bất hủ": Hàm số \(y = |x|\) đạt cực tiểu tại \(x=0\) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó (vì đạo hàm trái và phải khác nhau). Cực trị không nhất thiết phải có "đỉnh" trơn tru!

Câu 6: Giá trị cực đại của một hàm số luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của nó. Đúng hay sai?

Đáp án: Sai.

Tư duy mở: Cực đại và cực tiểu chỉ mang tính "địa phương". Hoàn toàn có thể tồn tại một giá trị cực đại ở "ngọn đồi" này lại thấp hơn giá trị cực tiểu ở một "thung lũng" khác trên đồ thị. Đây là một khái niệm quan trọng để phân biệt cực trị địa phương và giá trị lớn nhất/nhỏ nhất toàn cục.

Câu 7: Tích giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \(y = x^3 - 3x\) bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng là -4.

Logic giải quyết:

  1. \(y' = 3x^2 - 3\). Cho \(y' = 0 \Rightarrow x=1\) hoặc \(x=-1\).
  2. Với \(x=1 \Rightarrow y = 1 - 3 = -2\) (cực tiểu).
  3. Với \(x=-1 \Rightarrow y = -1 + 3 = 2\) (cực đại).
  4. Tích của chúng là \(2 \times (-2) = -4\). "Nhanh - Gọn - Lẹ!"

Câu 8: Hàm số \(y = ax^4 + bx^2 + c\) có 3 điểm cực trị khi \(a \cdot b < k\). Tìm giá trị của \(k\).

Đáp án đúng là 0.

Ghi nhớ công thức:

  1. \(y' = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\).
  2. Để có 3 cực trị, phương trình \(y'=0\) phải có 3 nghiệm phân biệt. Một nghiệm là \(x=0\).
  3. Phương trình \(2ax^2 + b = 0 \Leftrightarrow x^2 = -\frac{b}{2a}\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
  4. Điều này xảy ra khi \(-\frac{b}{2a} > 0 \Leftrightarrow \frac{b}{a} < 0 \Leftrightarrow a \cdot b < 0\).
  5. Vậy hằng số \(k\) cần tìm là 0. Đây là một công thức giải nhanh rất hữu ích!