🚀 Thử Thách Siêu Trí Tuệ: Đồng Biến & Nghịch Biến 🚀

Câu 1: "Tân binh" khởi động! Hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 5\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đáp án đúng là C.

Giải thích siêu tốc:

  1. Tính đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 6x\).
  2. Cho \(y' = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).
  3. Xét dấu y', ta thấy y' > 0 khi \(x \in (-\infty, 0)\) hoặc \(x \in (2, +\infty)\). Đây chính là các khoảng đồng biến. "Dễ như ăn kẹo!" phải không nào?

Câu 2: "Pro" hơn một chút! Hàm số \(y = \frac{x+1}{x-1}\) nghịch biến trên khoảng nào?

Đáp án đúng là B.

Giải thích "thần sầu":

  1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
  2. Tính đạo hàm: \(y' = \frac{1(x-1) - 1(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}\).
  3. Ta thấy \(y' < 0\) với mọi \(x \neq 1\).
  4. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định là \((-\infty, 1)\) và \((1, +\infty)\). Chú ý: Không được dùng dấu hợp \(\cup\) hay viết \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) nhé, "bẫy" đó!

Câu 3: "Thử thách cực đại"! Cho hàm số \(y = -x^4 + 2x^2 + 3\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Đáp án đúng là A.

Giải thích cho "chiến thần":

  1. Tính đạo hàm: \(y' = -4x^3 + 4x\).
  2. Cho \(y' = 0 \Rightarrow -4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x=0, x=1, x=-1\).
  3. Lập bảng xét dấu, ta thấy \(y' > 0\) khi \(x \in (-\infty, -1)\) và \(x \in (0, 1)\).
  4. Soi các đáp án, ta thấy (A) là chính xác nhất. Bạn thật tuyệt vời!

Câu 4: Hàm số \(y = \ln(x)\) đồng biến trên tập xác định \((0, +\infty)\) của nó. Đúng hay sai?

Đáp án: Đúng.

Giải thích: Đạo hàm \(y' = \frac{1}{x}\). Vì tập xác định là \(x > 0\), nên \(y' > 0\) với mọi x. Do đó, hàm số luôn đồng biến. Một pha xử lý gọn gàng!

Câu 5: Nếu \(f'(x) \ge 0\) với mọi \(x \in K\), thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên K. Đúng hay sai?

Đáp án: Sai.

Giải thích "lật kèo": Mệnh đề đúng phải là "Nếu \(f'(x) \ge 0\) với mọi \(x \in K\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K". Ví dụ hàm hằng \(y=5\) có \(y'=0\) nhưng không đồng biến hay nghịch biến. Một câu hỏi khá "hiểm hóc"!

Câu 6: Hàm số \(y=\tan(x)\) luôn đồng biến. Đúng hay sai?

Đáp án: Sai.

Giải thích: Đạo hàm là \(y' = \frac{1}{\cos^2x} > 0\). Nghe có vẻ luôn đồng biến, NHƯNG... nó chỉ đồng biến trên từng khoảng xác định như \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\). Nó không đồng biến trên toàn bộ tập xác định. Lại một cú lừa ngoạn mục!

Câu 7: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m+2)x + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Đáp án là một con số.

Đáp án đúng là 2.

Logic giải quyết:

  1. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}\).
  2. Ta có: \(y' = x^2 - 2mx + (m+2)\).
  3. Đây là một tam thức bậc hai có hệ số a=1>0. Để \(y' \ge 0\), delta phẩy \(\Delta' \le 0\).
  4. \(\Delta' = (-m)^2 - 1(m+2) = m^2 - m - 2 \le 0\).
  5. Giải bất phương trình ta được \(-1 \le m \le 2\).
  6. Vậy giá trị nguyên lớn nhất của m là 2. "Quá đỉnh!"

Câu 8: Hàm số \(y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1\) có bao nhiêu khoảng nghịch biến? Điền số lượng khoảng.

Đáp án đúng là 1.

Lý do:

  1. Ta tính \(y' = -3x^2 + 6x - 3 = -3(x^2 - 2x + 1) = -3(x-1)^2\).
  2. Vì \((x-1)^2 \ge 0\) nên \(y' = -3(x-1)^2 \le 0\) với mọi \(x\). Dấu "=" xảy ra tại x=1.
  3. Do đó, hàm số nghịch biến trên toàn bộ \(\mathbb{R}\). Vậy chỉ có 1 khoảng nghịch biến duy nhất là \((-\infty, +\infty)\).