1. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số \(y = -x^2 + 4x - 1\) trên đoạn \([1; 3]\).
M = 2
M = 3
M = 0
M = 4
Lời giải:
1. Tính đạo hàm: \(y' = -2x + 4\).
2. Tìm nghiệm: \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\). Điểm \(x=2\) thuộc đoạn \([1; 3]\).
3. Tính giá trị tại các điểm: \(y(1) = 2\), \(y(3) = 2\), \(y(2) = 3\).
4. So sánh các giá trị, ta thấy GTLN là 3. Bạn làm đúng rồi!
2. Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \(y = x^3 - 3x + 5\) trên đoạn \([0; 2]\) là bao nhiêu?
m = 5
m = 7
m = 3
m = 1
Lời giải:
1. Đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 3\).
2. Nghiệm: \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (nhận) hoặc \(x = -1\) (loại vì không thuộc \([0; 2]\)).
3. Tính giá trị: \(y(0) = 5\), \(y(2) = 7\), \(y(1) = 3\).
4. So sánh, ta thấy GTNN là 3. Quá đỉnh!
Cấp độ: Nhà Thám Hiểm Cực Trị 🗺️
3. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{3x - 1}{x - 3}\) trên đoạn \([0; 2]\).
M = 5
M = -5
M = 1/3
M = -1/3
Lời giải:
1. TXĐ: \(D = R \setminus \{3\}\). Hàm số liên tục trên \([0; 2]\).
2. Đạo hàm: \(y' = \frac{3(x-3) - 1(3x-1)}{(x-3)^2} = \frac{-8}{(x-3)^2}\).
3. Nhận xét: \(y' < 0\) với mọi \(x \in [0; 2]\). Do đó, hàm số nghịch biến trên đoạn này.
4. GTLN sẽ đạt được tại điểm đầu của đoạn: \(M = y(0) = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}\).
4. Cho hàm số \(y = x - \sin(2x)\) trên đoạn \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). Tìm GTLN của hàm số.
\( \frac{\pi}{2} \)
\( -\frac{\pi}{2} \)
\( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 1 \)
Lời giải:
1. Đạo hàm: \(y' = 1 - 2\cos(2x)\).
2. Nghiệm: \(y' = 0 \Leftrightarrow \cos(2x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi\).
Trên đoạn \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\), ta có \(x = \pm \frac{\pi}{6}\).
3. Tính giá trị: \(y(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}\), \(y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\), \(y(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(y(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}\).
4. So sánh các giá trị, GTLN là \(y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\). Kỹ năng thượng thừa!
Bảng Vàng: Thử Thách Trí Tuệ
Điểm số: 0/4
Cấp độ: Người Leo Núi Mới Nổi 🧗
1. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn \([a;b]\), ta chỉ cần tính \(f(a)\) và \(f(b)\). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Lời giải: Sai! Đây là một sai lầm phổ biến. Ta phải tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút \(a, b\) VÀ tại các điểm cực trị (nếu có) trên khoảng \((a;b)\).
2. Hàm số \(y = x^2\) có giá trị nhỏ nhất trên \(R\) là 0. Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Lời giải: Đúng! Vì \(x^2 \ge 0\) với mọi \(x \in R\), nên giá trị nhỏ nhất của nó là 0, đạt được khi \(x=0\).
Cấp độ: Nhà Thám Hiểm Cực Trị 🗺️
3. Hàm số \(y = \frac{x+1}{x-1}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định nên GTNN của nó trên \([2; 4]\) là \(y(4)\). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Lời giải: Đúng! Ta có \(y' = \frac{-2}{(x-1)^2} < 0\), nên hàm số luôn nghịch biến. Trên đoạn \([2; 4]\), giá trị nhỏ nhất sẽ đạt tại điểm cuối, tức là \(y(4) = \frac{5}{3}\).
4. Hàm số không có đạo hàm tại một điểm thì không thể đạt cực trị tại điểm đó. Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Lời giải: Sai! Một ví dụ kinh điển là hàm \(y = |x|\). Hàm này không có đạo hàm tại \(x=0\) nhưng vẫn đạt cực tiểu (đồng thời là GTNN trên R) tại điểm đó.
Bảng Vàng: Đúng Hay Sai?
Điểm số: 0/4
Cấp độ: Người Leo Núi Mới Nổi 🧗
1. Đạo hàm của hàm số \(y = x^3 - 6x^2 + 5\) là \(y' = 3x^2 - 12x\). Nghiệm dương của phương trình \(y'=0\) là \(x = ?\)
Lời giải: Ta giải \(3x^2 - 12x = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 4) = 0\). Phương trình có nghiệm \(x=0\) và \(x=4\). Nghiệm dương là 4.
2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x^2 - 2x + 10\) trên đoạn \([0; 3]\) là bao nhiêu?
Lời giải: \(y' = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\). So sánh \(y(0)=10\), \(y(3)=13\), \(y(1)=9\). GTNN là 9.
Cấp độ: Nhà Thám Hiểm Cực Trị 🗺️
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\) trên khoảng \((0; +\infty)\).
Lời giải:
Cách 1 (Đạo hàm): \(y' = 1 - \frac{4}{x^2}\). \(y'=0 \Leftrightarrow x=2\). Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTNN tại \(x=2\), và \(y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4\).
Cách 2 (BĐT Cauchy): Vì \(x > 0\), ta có \(x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4\). GTNN là 4.
4. Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt{4-x^2}\) là bao nhiêu?
Lời giải: Điều kiện: \(4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x \le 2\).
Vì \(x^2 \ge 0\), nên \(-x^2 \le 0\), suy ra \(4-x^2 \le 4\).
Do đó \(\sqrt{4-x^2} \le \sqrt{4} = 2\). GTLN là 2, đạt được khi \(x=0\).