1. Với ba điểm A, B, C bất kỳ, đẳng thức nào sau đây là đúng?
\( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{CA} \)
\( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \)
\( \vec{AC} + \vec{CB} = \vec{BA} \)
\( \vec{CA} + \vec{BC} = \vec{AB} \)
Công Thức Vàng: Đây là quy tắc 3 điểm (hay quy tắc Chasles). Đi từ A đến B, rồi từ B đến C, cũng giống như đi thẳng từ A đến C. Vậy nên \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \).
2. Cho hình bình hành ABCD. Phép cộng vector \( \vec{AB} + \vec{AD} \) cho kết quả là?
\( \vec{AC} \)
\( \vec{DB} \)
\( \vec{BD} \)
\( \vec{0} \)
Công Thức Vàng: Đây là quy tắc hình bình hành. Tổng hai vector chung gốc là vector đường chéo cũng xuất phát từ gốc đó. Do ABCD là hình bình hành, ta có \( \vec{AD} = \vec{BC} \). Suy ra \( \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \).
Cấp độ: Thuyền Trưởng Không Gian 🌟
3. Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Đẳng thức nào đúng?
\( \vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AM} \)
\( \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{AM} \)
\( \vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM} \)
\( \vec{AM} + \vec{BM} = \vec{CM} \)
Công Thức Vàng: Đây là quy tắc trung tuyến. Với M là trung điểm BC, ta có \( \vec{AB} + \vec{AC} = (\vec{AM} + \vec{MB}) + (\vec{AM} + \vec{MC}) = 2\vec{AM} + (\vec{MB} + \vec{MC}) \). Vì M là trung điểm BC nên \( \vec{MB} \) và \( \vec{MC} \) là hai vector đối nhau, tổng của chúng bằng \( \vec{0} \). Do đó \( \vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM} \).
4. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Hệ thức nào sau đây là chính xác?
\( \vec{GA} + \vec{GB} = \vec{GC} \)
\( \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \)
\( \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 3\vec{GG} \)
\( \vec{AG} + \vec{BG} + \vec{CG} = \vec{0} \)
Công Thức Vàng: Tính chất trọng tâm của tam giác nói rằng tổng các vector từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác bằng vector-không. Đây là một hệ thức cực kỳ quan trọng cần ghi nhớ!
Bảng Thành Tích: Chọn đáp án
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Phi Hành Gia Tập Sự 👨🚀
1. Hai vector \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Công Thức Vàng: Chuẩn không cần chỉnh! Đây chính là định nghĩa của hai vector bằng nhau. Cả hướng và độ lớn đều phải giống hệt nhau.
2. Với 3 điểm A, B, C, ta luôn có \( \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB} \). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Công Thức Vàng: Hoàn toàn chính xác! Đây là quy tắc trừ vector: \( \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB} \).
Cấp độ: Thuyền Trưởng Không Gian 🌟
3. Ba vector được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng. Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Công Thức Vàng: Sai một chút nhưng rất quan trọng! Giá của chúng phải **song song hoặc nằm trong** cùng một mặt phẳng. Chúng không nhất thiết phải nằm gọn bên trong mặt phẳng đó.
4. Nếu \( \vec{AB} = -2 \vec{CD} \) thì hai vector \( \vec{AB} \) và \( \vec{CD} \) ngược hướng và độ dài \( \vec{AB} \) gấp đôi độ dài \( \vec{CD} \). Đúng hay Sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Công Thức Vàng: Chính xác! Hằng số \(k = -2\) có giá trị âm, cho thấy hai vector ngược hướng. Giá trị tuyệt đối của \(k\) là \(|{-2}| = 2\), cho thấy độ dài của vector này gấp đôi vector kia. Bạn là một chuyên gia thực thụ!
Bảng Thành Tích: Đúng/Sai Thần Tốc
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Phi Hành Gia Tập Sự 👨🚀
1. Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \( \vec{AB} = ? \cdot \vec{AM} \).
\( \vec{AB} = \)\( \cdot \vec{AM} \)
Công Thức Vàng: Vì M là trung điểm AB nên \( \vec{AM} \) và \( \vec{MB} \) cùng hướng và bằng nhau về độ dài. Do đó, vector \( \vec{AB} \) dài gấp đôi vector \( \vec{AM} \) và cùng hướng. Vậy số cần điền là 2.
2. Cho \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) là hai vector khác \( \vec{0} \). Rút gọn biểu thức \( 3(\vec{a} + \vec{b}) - 3\vec{a} = ? \cdot \vec{b} \).
Biểu thức = \( \cdot \vec{b} \)
Công Thức Vàng: Ta dùng tính chất phân phối: \( 3(\vec{a} + \vec{b}) - 3\vec{a} = 3\vec{a} + 3\vec{b} - 3\vec{a} = (3\vec{a} - 3\vec{a}) + 3\vec{b} = \vec{0} + 3\vec{b} = 3\vec{b} \). Số bí ẩn là 3.
Cấp độ: Thuyền Trưởng Không Gian 🌟
3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G và điểm O bất kỳ. Ta có hệ thức: \( \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = ? \cdot \vec{OG} \).
Hệ thức = \( \cdot \vec{OG} \)
Công Thức Vàng: Đây là một tính chất mở rộng của trọng tâm. Ta có \( \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \). Chèn điểm O vào ta được \( (\vec{OA}-\vec{OG}) + (\vec{OB}-\vec{OG}) + (\vec{OC}-\vec{OG}) = \vec{0} \), suy ra \( \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} - 3\vec{OG} = \vec{0} \). Vậy \( \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG} \). Số cần tìm là 3.
4. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Với điểm O bất kỳ, ta có: \( \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = ? \cdot \vec{OG} \).
Hệ thức = \( \cdot \vec{OG} \)
Công Thức Vàng: Tương tự như tam giác, trọng tâm G của tứ diện thỏa mãn \( \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0} \). Chèn điểm O vào, ta sẽ suy ra được \( \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 4\vec{OG} \). Con số của vũ trụ là 4!