💡 Sân Chơi Toán Học Cấp Tốc 💡
Giải mã các thử thách Toán học 12 ngay!
Cấp độ: Khởi Động Nhanh (5 Câu) ⚡
1. (Hàm số) Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên như bên dưới. Hàm số đã cho **đồng biến** trên khoảng nào dưới đây?
Bí kíp: Hàm số đồng biến khi \(f'(x) > 0\). Dựa vào bảng biến thiên, \(f'(x) > 0\) trên hai khoảng \((-1; 0)\) và \((1; +\infty)\).
2. (Hàm số) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{5x+1}{x-1}\) là:
Bí kíp: Tiệm cận ngang là \(y = \frac{5}{1} = 5\).
3. (Hình học Oxyz) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, vectơ bằng vectơ \(\vec{AB}\) là vectơ nào dưới đây?
Bí kíp: \(\vec{AB} = \vec{D'C'}\).
4. (Hình học Oxyz) Cho \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là hai vectơ **cùng hướng** và đều khác vectơ \(\vec{0}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Bí kíp: Hai vectơ cùng hướng nên góc bằng \(0^\circ\). \(\cos(0^\circ) = 1\), suy ra \(\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|\).
5. (Hàm số) Tìm **giá trị lớn nhất** của hàm số \(y=f(x)=x^{2}-4x+3\) trên đoạn \([-1;4]\).
Bí kíp: \(f(-1)=8\), \(f(2)=-1\), \(f(4)=3\). GTLN là **8**.
Cấp độ: Anh Hùng Chinh Phục (5 Câu) 🚀
6. (Hàm số) Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như bên dưới. Tổng số **tiệm cận đứng** và **tiệm cận ngang** của đồ thị hàm số đã cho là:
Bí kíp: 1 TCĐ (\(x=0\)), 2 TCN (\(y=1\), \(y=3\)). Tổng là **3**.
7. (Hình học Oxyz) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB=10\), \(AD=16\), \(AA^{\prime}=8\). Chọn hệ trục Oxyz có gốc \(A\). Tìm tọa độ \(\vec{A^{\prime}C}\).
Bí kíp: Tọa độ: \(A'(0; 0; 8)\), \(C(10; 16; 0)\). \(\vec{A^{\prime}C} = (10; 16; -8)\).
8. (Hàm số) Đồ thị bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
Bí kíp: Đồ thị đi xuống khi \(x \to +\infty\) nên \(a < 0\). Đồ thị đi qua \((0; -4)\). Chọn B.
9. (Ứng dụng Đạo hàm) Số người nhiễm bệnh kể từ ngày thứ \(t\) là \(G(t)=45t^{2}-t^{3}\). Số người nhiễm bệnh đạt **cực đại** tại ngày thứ mấy? (Biết \(t > 0\)).
Bí kíp: \(G'(t) = 90t - 3t^2\). \(G'(t) = 0 \implies t=30\).
10. (Hình học Oxyz) Cho hai vectơ \(\vec{a}=(2;1;0)\) và \(\vec{b}=(-1;0;-2)\). Tính \(\cos(\vec{a},\vec{b})\).
Bí kíp: \(\cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = -\frac{2}{5}\).
Bảng Xếp Hạng: Trắc Nghiệm Tổng Hợp
Điểm của bạn: 0/10
Câu 1 (4 Ý): Hàm số \(y=\frac{-x^{2}+x+1}{x+1}\) ⚡
1. Đồ thị có tiệm cận đứng là trục \(Oy\) (\(x=0\)).
Bí kíp: TCĐ là \(x=-1\). Khẳng định này là **SAI**.
2. Đồ thị không cắt trục \(Ox\).
Bí kíp: Phương trình \(y=0\) có 2 nghiệm. Khẳng định "không cắt" là **SAI**.
3. Hàm số có hai điểm cực trị.
Bí kíp: \(y'=0\) có 2 nghiệm \(x=0\) và \(x=-2\). Khẳng định là **ĐÚNG**.
4. Đồ thị có tiệm cận xiên đi qua điểm \(A(1;2)\).
Bí kíp: TCX là \(y=-x+2\). \(A(1;2)\) không thuộc TCX. Khẳng định là **SAI**.
Câu 2 (4 Ý): Bảng biến thiên 🚀
5. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1;3)\).
Bí kíp: Trong khoảng \((1; 3)\), \(y' > 0\), hàm số **đồng biến**. Khẳng định là **SAI**.
6. Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\).
Bí kíp: Tại \(x=3\), \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại. Khẳng định là **ĐÚNG**.
7. Hàm số có giá trị cực tiểu là \(-\frac{1}{3}\).
Bí kíp: Tại \(x=1\), giá trị \(y\) là \(-\frac{1}{3}\) và là cực tiểu. Khẳng định là **ĐÚNG**.
8. Hàm số có giá trị cực đại là 3.
Bí kíp: Giá trị cực đại là \(y=1\). Khẳng định là **SAI**.
Bảng Xếp Hạng: Đúng/Sai Thử Thách
Điểm của bạn: 0/8
Cấp độ: Khởi Động Nhanh (3 Câu) ⚡
1. (Ứng dụng Đạo hàm) Tọa độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) là \(x(t)=t^{3}-6t^{2}+9t\). Vận tốc \(v(t) = x'(t)\). Giá trị \(t_{0} \ge 0\) bằng bao nhiêu để kể từ thời điểm \(t_{0}\) trở đi **vận tốc của chất điểm tăng**? (Đáp án là một số nguyên)
Bí kíp: Vận tốc tăng khi gia tốc \(a(t) = 6t - 12 > 0 \iff t > 2\). Thời điểm \(t_0\) là **2**.
2. (Hàm số) Hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}-1}}\) có phương trình là \(y=m\) và \(y=n\). Tính giá trị \(m+n\).
Bí kíp: \(\lim_{x \to +\infty} y = 2\). \(\lim_{x \to -\infty} y = -2\). Tổng là **0**.
3. (Hàm số) Có tất cả bao nhiêu giá trị **nguyên dương** của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x+m}{x+2025}\) **đồng biến** trên từng khoảng xác định của nó?
Bí kíp: Hàm số đồng biến khi \(m < 2025\). \(m \in \{1, 2, ..., 2024\}\). Có **2024** giá trị.
Cấp độ: Anh Hùng Chinh Phục (3 Câu) 🚀
4. (Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất) Ông B đóng thùng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy hình vuông, thể tích \(V=2\,m^3\). Tìm **cạnh đáy** (mét) để chi phí nhỏ nhất. (Làm tròn **2** chữ số thập phân).
Bí kíp: Chi phí \(C(x) = 100x^2 + \frac{400}{x}\). \(C'(x)=0 \implies x = \sqrt[3]{2} \approx \textbf{1.26}\).
5. (Hàm số) Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(y=f'(x)\) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số \(g(x)=f(x)-\frac{2}{3}x\). Hàm số \(g(x)\) có bao nhiêu **điểm cực trị**?
Bí kíp: \(g'(x)=0 \iff f'(x) = \frac{2}{3}\). Đường thẳng \(y=\frac{2}{3}\) cắt đồ thị \(y=f'(x)\) tại **4** điểm phân biệt.
6. (Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất) Tấm nhôm vuông cạnh \(12 \text{ cm}\). Cắt 4 góc \(x \text{ cm} \times x \text{ cm}\) rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm \(x\) để hộp có **thể tích lớn nhất**. (Đáp án là một số nguyên).
Bí kíp: Thể tích \(V(x) = (12-2x)^2 \cdot x\). \(V'(x)=0\) có nghiệm \(x=2\). Thể tích lớn nhất tại \(x=\textbf{2}\).
Bảng Xếp Hạng: Điền số Giải Cứu
Điểm của bạn: 0/6