💡 SÂN CHƠI TOÁN HỌC - ĐỀ THI CUỐI KÌ 1 - 001 💡
Giải mã các thử thách về Hàm số, Cực trị, Tiệm cận và Hình học Tọa độ!
Cấp độ 1: Khởi Động Siêu Tốc (Cơ bản) 🚀
1. (Cơ bản) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(\frac{2x^{2}+x-3}{x+1}\) có phương trình là:
Bí Kíp TCNX: Thực hiện phép chia đa thức: \(2x^2+x-3 = (2x-1)(x+1) - 2\). Vậy \(y = 2x-1 - \frac{2}{x+1}\). TCNX là \(y=2x-1\).
2. (Cơ bản) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y=\frac{3x-1}{x-3}\) trên đoạn \([0;2]\).
Bí Kíp GTLN/GTNN: Đạo hàm \(y' = \frac{-8}{(x-3)^2} < 0\). Hàm số nghịch biến trên \([0;2]\). GTLN là \(f(0) = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}\).
3. (Cơ bản) Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên (như hình dưới, chú ý \(\lim_{x\to+\infty} f(x)=1\), \(\lim_{x\to-\infty} f(x)=1\), \(\lim_{x\to 1^+} f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to 1^-} f(x)=3\)). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
Bí Kíp Đếm Tiệm Cận: TCN: \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 1\). \(\to\) Có 1 TCN là \(y=1\). TCĐ: \(\lim_{x\to 1^+} f(x) = -\infty\). \(\to\) Có 1 TCĐ là \(x=1\). Tổng cộng: \(1+1=2\) tiệm cận.
4. (Cơ bản) Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có \(\vec{AB}=(-2;-5;0)\), \(\vec{AC}=(2;-2;0)\). Độ dài đoạn thẳng BC bằng:
Bí Kíp Vectơ: \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = (4; 3; 0)\). Độ dài: \(BC = |\vec{BC}| = \sqrt{4^2+3^2+0^2} = 5\).
5. (Thống kê) Kết quả khảo sát năng suất (tấn/ha) được minh họa ở biểu đồ. Tìm phương sai của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần trăm).
Bí Kíp Phương Sai: Phương sai \(S^2 \approx 0.09\).
6. (Thống kê) Công ty nước sạch thống kê lượng nước tiêu thụ trong bảng sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
Lượng nước tiêu thụ (\(m^{3}\)): [3;6), [6;9), [9;12), [12;15), [15;18)
Số hộ gia đình: 20, 60, 40, 32, 7
Lượng nước tiêu thụ (\(m^{3}\)): [3;6), [6;9), [9;12), [12;15), [15;18)
Số hộ gia đình: 20, 60, 40, 32, 7
Bí Kíp Khoảng Biến Thiên: \(R = x_{max} - x_{min}\). Với mẫu ghép nhóm, ta lấy cận trên của lớp cuối cùng trừ cận dưới của lớp đầu tiên: \(18 - 3 = 15~m^3\).
Cấp độ 2: Thử Thách Anh Hùng (Nâng cao) 🦸
7. (Nâng cao) Cho hàm số đa thức bậc ba \(y=f(x)\) có đồ thị như hình. Phương trình \(f(x)-m=0\) có duy nhất một nghiệm. Tìm tất cả giá trị của m?
Bí Kíp Tương Giao: \(f(x)=m\). Đồ thị có 2 cực trị \(y_{CĐ}=3\) và \(y_{CT}=-1\). Để có 1 nghiệm duy nhất, đường \(y=m\) phải nằm ngoài hai cực trị: \(m > 3\) hoặc \(m < -1\).
8. (Nâng cao) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^{4}-2x^{2}-1\) trên \([-1;2]\). Giá trị của biểu thức \(M+3m\) bằng:
Bí Kíp Tìm M, m: \(f'(x) = 4x^3-4x = 0 \Leftrightarrow x=0, x=\pm 1\). Tính giá trị tại \(x=-1, x=0, x=1, x=2\). \(f(-1)=-2\), \(f(0)=-1\), \(f(1)=-2\), \(f(2)=7\). GTLN \(M=7\), GTNN \(m=-2\). \(M+3m = 7 + 3(-2) = 1\).
9. (Nâng cao) Cho hàm số \(y=\frac{ax+3}{bx+c}\) có đồ thị như hình. Tính giá trị \(M=a+b+c\).
Bí Kíp Đồ Thị: TCN \(y=1\), TCĐ \(x=-2\). \(\to a=b\), \(c=2b\). Đồ thị đi qua \((0, 1.5)\). \(y(0) = \frac{3}{c} = 1.5 \to c=2\). Vậy \(a=1, b=1, c=2\). \(M=a+b+c = 4\).
10. (Nâng cao) Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x)\) với đồ thị như hình. Hỏi hàm số \(y=f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Bí Kíp Cực Trị: Số điểm cực trị bằng số nghiệm đơn của \(f'(x)=0\). Đồ thị \(f'(x)\) cắt \(Ox\) tại 3 điểm phân biệt (\(x=-2, x=0, x=2\)) \(\to\) **3** cực trị.
11. (Nâng cao) Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh đáy bằng 1 và cạnh bên bằng 2. Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{AA'}\) và \(\vec{C'C}\) bằng:
Bí Kíp Tích Vô Hướng: \(\vec{C'C} = -\vec{AA'}\). \(\vec{AA'} \cdot \vec{C'C} = -|\vec{AA'}|^2 = -2^2 = -4\).
12. (Nâng cao) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, \(SA=6\) và \(SA\perp(ABCD)\). Chọn hệ Oxyz tại A sao cho \(B, D, S\) lần lượt trên \(Ox, Oy, Oz\). Tọa độ của điểm \(C(a;b;c)\). Khi đó \(a-b+4c\) bằng:
Bí Kíp Tọa Độ Hóa: \(C(4;4;0)\). \(a-b+4c = 4 - 4 + 4(0) = 0\).
Bảng Thống Kê: Trắc Nghiệm (MCQ)
Điểm của bạn: 0/12
Cấp độ 1: Khởi Động Siêu Tốc (Cơ bản) 🚀
1. (Kinh tế) Với \(q\) sản phẩm, chi phí \(C(q)=8q^{2}+40q+1300\) (nghìn đồng), giá bán \(P(q)=1400-2q\) (nghìn đồng/sản phẩm). Lợi nhuận \(F(q) = q \cdot P(q) - C(q)\).
a) Chi phí sản xuất 50 sản phẩm là 23400 (nghìn đồng).
Bí Kíp: \(C(50) = 23300\) (nghìn đồng). Khẳng định là Sai.
b) Lợi nhuận bán được \(q\) sản phẩm là \(F(q)=-10q^{2}+1360q-1300\) (nghìn đồng).
Bí Kíp: \(F(q) = q(1400-2q) - (8q^2+40q+1300) = -10q^2 + 1360q - 1300\). Khẳng định là Đúng.
c) Lợi nhuận cao nhất trong một tháng của công ty là hơn 44000 (nghìn đồng).
Bí Kíp: \(F_{max} = F(68) = 45060\) (nghìn đồng). \(45060 > 44000\). Khẳng định là Đúng.
d) Nếu số lượng sản phẩm \(q \in [60; 70]\) thì lợi nhuận ước tính trong khoảng \([44200; 44840]\) (nghìn đồng).
Bí Kíp: \(F(60) = 44300\), \(F(70) = 44700\). Khoảng lợi nhuận là \([44300; 45060]\). Khẳng định là Sai.
2. (Hàm số) Cho hàm số \(y=\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}\).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y^{\prime}=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}\).
Bí Kíp: \(y' = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\). Khẳng định là Đúng.
b) Giá trị cực đại của hàm số bằng 2.
Bí Kíp: Cực đại tại \(x=0\), \(y_{CĐ} = y(0) = -2\). Khẳng định là Sai.
c) Điểm cực tiểu của hàm số bằng 0.
Bí Kíp: Cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{CT} = 2\). Khẳng định là Sai.
d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là \(y=2x+2\).
Bí Kíp: Đường thẳng qua 2 cực trị là TCNX, \(y=x-1\). Khẳng định là Sai.
Cấp độ 2: Thử Thách Anh Hùng (Nâng cao) 🦸
3. (Hình học tọa độ) Trong không gian Oxyz, cho hình chóp đều S.ABCD có \(SB=10\), \(CD=6\sqrt{2}\). Tâm O trùng với gốc tọa độ.
a) Tọa độ đỉnh \(S(0;0;6)\).
Bí Kíp: Chiều cao \(SO = 8\). \(S(0;0;8)\). Khẳng định là Sai.
b) Trọng tâm tam giác SCD là điểm \(G(-2;2;\frac{8}{3})\).
Bí Kíp: Tính toán tọa độ chính xác: \(G(0; -2\sqrt{2}; \frac{8}{3})\). Khẳng định là Sai.
c) Gọi M là trung điểm cạnh SD thì \(BM=\sqrt{79}\).
Bí Kíp: \(BM = \sqrt{61}\). Khẳng định là Sai.
d) Nếu \(E(a;0;b)\) thuộc mặt phẳng (Oxz) sao cho \(|EG-EA|\) là lớn nhất thì \(4a^{2}-b^{2}=5\).
Bí Kíp: Bài toán giá trị lớn nhất hình học. Khẳng định là Sai.
4. (Thống kê) Thời gian chạy 100m của VĐV A và B (bảng số liệu ghép nhóm)
a) Tổng số lần chạy của B là 25.
Bí Kíp: Tổng số lần chạy của B: \(3+6+8+5+3 = 25\). Khẳng định là Đúng.
b) Thời gian chạy trung bình của A lớn hơn thời gian chạy trung bình của B.
Bí Kíp: \(\bar{x}_A \approx \bar{x}_B\). Khẳng định là Sai.
c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu A bé hơn 0,43.
Bí Kíp: Khoảng \(Q_3-Q_1 \approx 0.35\). \(0.35 < 0.43\). Khẳng định là Đúng.
d) Dựa vào độ lệch chuẩn thì vận động viên A có thành tích luyện tập ít ổn định hơn so với vận động viên B.
Bí Kíp: Độ lệch chuẩn \(S_A > S_B\) (\(S_A \approx 0.17\), \(S_B \approx 0.16\)) \(\to\) A ít ổn định hơn B. Khẳng định là Đúng.
Bảng Thống Kê: Đúng/Sai Thần Tốc
Điểm của bạn: 0/16
Cấp độ 1: Khởi Động Siêu Tốc (Cơ bản) 🚀
1. (Vận tốc) Vị trí \(s(t)\) của vật chuyển động được mô tả bằng hàm bậc ba có đồ thị như hình (cực đại tại \(t=4\), cực tiểu tại \(t=8\)). Vật chuyển động **nhanh dần** bắt đầu từ thời điểm giây thứ mấy? (Đáp án là một số nguyên)
Bí Kíp: Vật chuyển động nhanh dần khi \(v(t)\) và \(a(t)\) cùng dấu. \(a(t)=0\) tại điểm uốn \(t=6\). Khi \(t>6\), \(a(t)>0\). Khoảng \(t \in (8;+\infty)\) có \(v(t)>0\) và \(a(t)>0\). Khoảng \(t \in (4;6)\) có \(v(t)<0\) và \(a(t)<0\). Bắt đầu nhanh dần từ \(t=6\) (chuyển động về điểm uốn) hoặc \(t=8\) (chuyển động đi).
2. (Kinh tế/Khoa học) Số lượng ong \(P(t)=\frac{20000}{1+100000e^{-t}}\). Tại thời điểm nào thì số lượng ong tăng nhanh nhất (làm tròn đến hàng đơn vị của tuần)? (Đáp án là một số nguyên)
Bí Kíp: Tốc độ tăng nhanh nhất khi \(P(t)\) bằng nửa giới hạn trên. \(P(t) = 10000 \to t = \ln(100000) \approx 11.51\). Làm tròn: **12**.
3. (Hàm số) Vận tốc \(v(km/h)\) phụ thuộc vào thời gian \(t(h)\) theo hàm bậc ba. \(v(1)=4, v(2)=1\). Tính vận tốc của vật tại thời điểm \(t=3h\). (Đáp án là một số nguyên)
Bí Kíp: \(v(3)=10\).
Cấp độ 2: Thử Thách Anh Hùng (Nâng cao) 🦸
4. (Kinh tế/Ứng dụng) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình. Khoảng cách từ C đến B là 4km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10km. Chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng.
Gọi điểm M trên đoạn AB là điểm nối dây từ đất liền ra đảo để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất. Tổng chi phí đó là bao nhiêu triệu đồng? (Đáp án là một số nguyên)
Bí Kíp Tối Ưu: Chi phí tối thiểu tính toán được là 460 triệu.
5. (Hình học không gian) Hình bên dưới minh họa một cái lều hai mái là hai hình chữ nhật giống nhau trong không gian Oxyz, với điểm A nằm trên Ox, điểm C nằm trên Oy. Biết các kích thước của mái lều là SA=5m, AB=10m, độ cao từ S xuống mặt đất là 4m. Bạn An muốn trang trí chiếc lều bằng cách treo các sợi dây cờ trang trí từ các góc lều O,A,B,C đến đuôi một chiếc đèn treo từ vị trí chính giữa của SQ, cách SQ 50cm. Hỏi tổng chiều dài sợi dây cờ trang trí tối thiểu bạn An cần mua là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Bí Kíp: Tổng chiều dài sợi dây cờ là 43.1m.
6. (Hình học tọa độ) Cabin cáp treo từ \(A(10;3;0)\) đến \(D\) cách \(A\) 3240m. Cùng phương \(\vec{u}(2;-2;1)\). Sau 3 phút đến \(B\) có \(x_B=550\). Tính thời gian di chuyển trên \(AD\) (phút, làm tròn đến hàng đơn vị).
Bí Kíp: Thời gian tính toán được là 12 phút.
Bảng Thống Kê: Điền Số Giải Cứu
Điểm của bạn: 0/6