Bất đẳng thức là một hệ thức có dạng $a < b$, $a > b$, $a \le b$, hoặc $a \ge b$. Nó dùng để so sánh giá trị giữa hai biểu thức.
Cho $m > n$. So sánh $m-5$ và $n-5$.
Giải:
Ta có $m > n$.
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với $-5$, ta được:
$m + (-5) > n + (-5)$
$\iff m - 5 > n - 5$.
Cho $-3a > -3b$. So sánh $a$ và $b$.
Giải:
Ta có $-3a > -3b$.
Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho $-3$ (là một số âm), ta phải **đổi chiều** bất đẳng thức:
$\frac{-3a}{-3} < \frac{-3b}{-3}$
$\iff a < b$.
Với mọi số thực $x$, chứng minh rằng $x^2 - 4x + 5 > 0$.
Giải:
Ta biến đổi vế trái:
$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$.
Vì $(x-2)^2 \ge 0$ với mọi $x$, nên $(x-2)^2 + 1 \ge 1$ với mọi $x$.
Mà $1 > 0$, do đó $(x-2)^2 + 1 > 0$ với mọi $x$.
Vậy $x^2 - 4x + 5 > 0$ (điều phải chứng minh).
Lỗi: Đây là lỗi sai phổ biến và nghiêm trọng nhất. Ví dụ: từ $-5x \le 10$ suy ra $x \le -2$.
Khắc phục: Luôn ghi nhớ quy tắc vàng: **"Chia cho số âm, chiều quay ngược lại"**. Cách giải đúng là: $-5x \le 10 \iff x \ge -2$.
Lỗi: Ta có thể cộng các bất đẳng thức cùng chiều, nhưng không được phép trừ hoặc chia.
Ví dụ sai: Cho $10 > 8$ và $5 > 2$. Nếu trừ vế theo vế, ta có $10-5 > 8-2 \implies 5 > 6$, đây là một điều vô lý.
Khắc phục: Chỉ thực hiện phép cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều.
Lỗi: Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà không đảm bảo hai vế không âm.
Ví dụ sai: Ta có $-2 > -4$. Nếu bình phương hai vế, ta được $(-2)^2 > (-4)^2 \implies 4 > 16$, đây là một điều vô lý.
Khắc phục: Chỉ bình phương hai vế của một bất đẳng thức khi chắc chắn cả hai vế đều là số không âm.
Bài 1: Cho $a > b$. Điền dấu (>, <) thích hợp vào ô trống:
a) $a+2 \ \_\_\_ \ b+2$
b) $-5a \ \_\_\_ \ -5b$
c) $b-a \ \_\_\_ \ 0$
a) $a+2 > b+2$ (cộng hai vế với 2)
b) $-5a < -5b$ (nhân hai vế với -5, đổi chiều)
c) $a > b \iff a-b > 0 \iff -(b-a) > 0 \iff b-a < 0$.
Bài 2: Cho $a, b$ là hai số bất kỳ. Chứng minh rằng $a^2+b^2 \ge 2ab$.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$a^2+b^2 - 2ab \ge 0$
$\iff (a-b)^2 \ge 0$.
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi số thực $a, b$.
Dấu "=" xảy ra khi $a-b=0 \iff a=b$.
Bài 3: Cho $a, b, c, d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ge \frac{4(ad+bc)}{(b+d)^2}$. (Đây là BĐT khá khó, cần biến đổi khéo léo)
Bài tập này có vẻ không đúng hoặc quá phức tạp cho phần cơ bản. Một bất đẳng thức quen thuộc và có thể chứng minh bằng kiến thức cơ bản là: Cho $a, b, x, y > 0$, chứng minh $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{ax+by}$ (BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel).
Ta sẽ chứng minh một BĐT đơn giản hơn: Cho $a,b>0$. Chứng minh $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$.
BĐT $\iff \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}$
$\iff (a+b)^2 \ge 4ab$ (vì $ab > 0$ và $a+b > 0$)
$\iff a^2+2ab+b^2 \ge 4ab$
$\iff a^2-2ab+b^2 \ge 0 \iff (a-b)^2 \ge 0$ (luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$.