Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có một trong các dạng sau: $ax + b < 0$, $ax + b > 0$, $ax + b \le 0$, hoặc $ax + b \ge 0$, trong đó $a$ và $b$ là các số đã cho và $a \neq 0$.
Để giải bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta sử dụng hai quy tắc biến đổi tương đương sau:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình $3x - 7 > 0$.
Giải:
$3x - 7 > 0$
$\iff 3x > 7$ (Chuyển -7 sang vế phải và đổi dấu)
$\iff x > \frac{7}{3}$ (Chia cả hai vế cho 3, là số dương nên giữ nguyên chiều)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > \frac{7}{3}\}$.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình $15 - 5x \le 0$.
Giải:
$15 - 5x \le 0$
$\iff -5x \le -15$ (Chuyển 15 sang vế phải và đổi dấu)
$\iff x \ge \frac{-15}{-5}$ (**Đổi chiều** bất phương trình vì chia cho -5 là số âm)
$\iff x \ge 3$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3\}$.
Lỗi: Đây là lỗi phổ biến và nghiêm trọng nhất. Ví dụ: từ $-2x < 6$ suy ra $x < -3$.
Khắc phục: Luôn tự kiểm tra: "Mình vừa nhân/chia cho số dương hay số âm?". Nếu là số âm, phải lập tức đổi chiều bất phương trình. Cách giải đúng là: $-2x < 6 \iff x > -3$.
Lỗi: Nhầm lẫn quy tắc chuyển vế với quy tắc nhân/chia, dẫn đến đổi chiều bất phương trình khi không cần thiết.
Khắc phục: Ghi nhớ rằng quy tắc chuyển vế (tương đương với cộng/trừ hai vế) **không bao giờ** làm thay đổi chiều của bất phương trình.
Bài 1: Giải bất phương trình $2(x+3) < 10$.
$2(x+3) < 10 \iff x+3 < 5 \iff x < 2$.
Tập nghiệm là $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}$.
Bài 2: Tìm số nguyên $x$ lớn nhất thỏa mãn bất phương trình $1 - \frac{x}{2} > 4$.
$1 - \frac{x}{2} > 4 \iff -\frac{x}{2} > 3 \iff x < -6$ (Nhân cả hai vế với -2 và đổi chiều).
Các số nguyên $x$ thỏa mãn là $\{-7, -8, -9, ...\}$.
Vậy số nguyên $x$ lớn nhất là -7.
Bài 1: Giải bất phương trình $\frac{x-2}{3} - \frac{3x-1}{2} \le 1$.
Quy đồng mẫu số chung là 6:
$\frac{2(x-2)}{6} - \frac{3(3x-1)}{6} \le \frac{6}{6}$
$\iff 2(x-2) - 3(3x-1) \le 6$ (Nhân hai vế với 6 là số dương)
$\iff 2x - 4 - 9x + 3 \le 6$
$\iff -7x - 1 \le 6$
$\iff -7x \le 7$
$\iff x \ge -1$ (Chia hai vế cho -7 và đổi chiều)
Tập nghiệm là $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge -1\}$.
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $(m-1)x > m-1$ vô nghiệm.
Ta cần biện luận theo tham số $m$.
Trường hợp 1: $m-1 > 0 \iff m > 1$. Bất phương trình trở thành $x > 1$. Luôn có nghiệm.
Trường hợp 2: $m-1 < 0 \iff m < 1$. Bất phương trình trở thành $x < 1$. Luôn có nghiệm.
Trường hợp 3: $m-1 = 0 \iff m = 1$. Bất phương trình trở thành $0x > 0$, tức là $0 > 0$. Đây là một điều vô lý.
Do đó, bất phương trình vô nghiệm khi $m=1$.