Toàn tập về Căn Bậc Ba 🧊

Định nghĩa & Tính chất

1. Định nghĩa

Căn bậc ba của một số $a$ là một số $x$ sao cho $x^3 = a$.

Ký hiệu căn bậc ba của số $a$ là $\sqrt[3]{a}$.

  • Mọi số thực đều có duy nhất một căn bậc ba.
  • Căn bậc ba của một số dương là một số dương. (Ví dụ: $\sqrt[3]{8} = 2$).
  • Căn bậc ba của một số âm là một số âm. (Ví dụ: $\sqrt[3]{-27} = -3$).
  • Căn bậc ba của số 0 là 0.

2. Tính chất

Với mọi số $a, b$:

  • Hằng đẳng thức: $$ (\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a $$ (Lưu ý: Không có dấu giá trị tuyệt đối như căn bậc hai).
  • Liên hệ với phép nhân (Khai phương một tích): $$ \sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} $$
  • Liên hệ với phép chia (Khai phương một thương): (với $b \neq 0$) $$ \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} $$
  • Tính chất so sánh: Nếu $a < b$ thì $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$.

3. Sơ đồ tư duy

  • Căn bậc ba
    • Định nghĩa
      • $x = \sqrt[3]{a} \iff x^3 = a$.
      • Mọi số thực đều có căn bậc ba duy nhất.
    • Tính chất
      • $\sqrt[3]{a^3} = a$ (không có giá trị tuyệt đối).
      • Quy tắc nhân: $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$.
      • Quy tắc chia: $\sqrt[3]{a/b} = \sqrt[3]{a}/\sqrt[3]{b}$.
      • So sánh: $a < b \iff \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$.

Ví dụ Minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của $\sqrt[3]{125}$ và $\sqrt[3]{-0.008}$.

Giải:
Ta có $5^3 = 125$, vậy $\sqrt[3]{125} = 5$.
Ta có $(-0.2)^3 = -0.008$, vậy $\sqrt[3]{-0.008} = -0.2$.

Ví dụ 2: So sánh $2$ và $\sqrt[3]{7}$.

Giải:
Ta có $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$.
Vì $8 > 7$ nên $\sqrt[3]{8} > \sqrt[3]{7}$.
Vậy $2 > \sqrt[3]{7}$.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $A = \sqrt[3]{54} + 2\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{-250}$.

Giải: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$.
$2\sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}$.
$\sqrt[3]{-250} = \sqrt[3]{-125 \cdot 2} = \sqrt[3]{(-5)^3 \cdot 2} = -5\sqrt[3]{2}$.
Vậy, $A = 3\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{2} - (-5\sqrt[3]{2}) = 3\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} = (3+4+5)\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}$.

Sai lầm thường gặp

1. Áp dụng sai quy tắc của căn bậc hai

Lỗi: Dùng dấu giá trị tuyệt đối cho căn bậc ba, ví dụ $\sqrt[3]{(-5)^3} = |-5|=5$. Hoặc cho rằng số âm không có căn bậc ba.

Khắc phục: Ghi nhớ sự khác biệt cốt lõi: Căn bậc ba "bảo toàn dấu" và không cần giá trị tuyệt đối. $\sqrt[3]{a^3}=a$ với mọi số $a$.

2. Khai phương một tổng hoặc hiệu

Lỗi: Áp dụng sai quy tắc, viết $\sqrt[3]{A+B} = \sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}$.

Ví dụ sai: $\sqrt[3]{8+1} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1} = 2+1=3$. (Kết quả đúng là $\sqrt[3]{9}$).

Khắc phục: Ghi nhớ các quy tắc khai phương chỉ áp dụng cho phép **nhân** và phép **chia**.

Bài tập Cơ bản

Bài 1: Tính giá trị biểu thức $A = \sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{0.125}$.

Xem đáp án

$A = -4 + 10 - 0.5 = 5.5$.

Bài 2: So sánh $5\sqrt[3]{6}$ và $6\sqrt[3]{5}$.

Xem đáp án

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

$5\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 6} = \sqrt[3]{125 \cdot 6} = \sqrt[3]{750}$.

$6\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{216 \cdot 5} = \sqrt[3]{1080}$.

Vì $750 < 1080$ nên $\sqrt[3]{750} < \sqrt[3]{1080}$. Vậy $5\sqrt[3]{6} < 6\sqrt[3]{5}$.

Bài tập Nâng cao

Bài 1: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{4}}$.

Xem đáp án

Cách 1:

$B = \frac{\sqrt[3]{108}}{\sqrt[3]{4}} - \frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{\frac{108}{4}} - \sqrt[3]{\frac{32}{4}} = \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{8} = 3 - 2 = 1$.

Cách 2:

$\sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = 3\sqrt[3]{4}$.

$\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{8 \cdot 4} = 2\sqrt[3]{4}$.

$B = \frac{3\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{(3-2)\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = 1$.

Bài 2: Giải phương trình: $\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} + \sqrt[3]{x+3} = 0$.

Xem đáp án

Đặt $a = \sqrt[3]{x+1}, b = \sqrt[3]{x+2}, c = \sqrt[3]{x+3}$.

Phương trình trở thành $a+b+c=0$.

Áp dụng hằng đẳng thức: Nếu $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$.

$(x+1) + (x+2) + (x+3) = 3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}$.

$3x+6 = 3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}$.

$x+2 = \sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}$.

Lập phương hai vế: $(x+2)^3 = (x+1)(x+2)(x+3)$.

$(x+2)^3 - (x+1)(x+2)(x+3) = 0$.

$(x+2)[(x+2)^2 - (x+1)(x+3)] = 0$.

$(x+2)[(x^2+4x+4) - (x^2+4x+3)] = 0$.

$(x+2)[1] = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.

Thử lại, ta thấy $x=-2$ là nghiệm đúng. Vậy $x=-2$.