Đa giác đều và Phép quay 🔄

Định nghĩa & Tính chất

1. Đa giác đều

Định nghĩa: Đa giác đều là đa giác lồi có **tất cả các cạnh bằng nhau** và **tất cả các góc bằng nhau**.

Tính chất:

  • Mọi đa giác đều đều có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp.
  • Hai đường tròn này đồng tâm. Tâm đó được gọi là tâm của đa giác đều.
  • Số đo mỗi góc của đa giác đều n cạnh được tính bằng công thức: $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$.

2. Phép quay

Định nghĩa: Phép quay tâm O góc quay $\alpha$, ký hiệu $Q_{(O, \alpha)}$, là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho:

  • $OM' = OM$
  • Góc lượng giác $(OM, OM') = \alpha$

3. Mối liên hệ giữa Đa giác đều và Phép quay

Một đa giác đều n cạnh có tâm O sẽ **biến thành chính nó** khi thực hiện phép quay tâm O với góc quay $k \cdot \frac{360^\circ}{n}$ (với $k$ là số nguyên).

4. Sơ đồ tư duy

  • Đa giác đều & Phép quay
    • Đa giác đều
      • Định nghĩa: Các cạnh bằng nhau & Các góc bằng nhau.
      • Tính chất: Có tâm, có đường tròn nội/ngoại tiếp.
    • Phép quay $Q_{(O, \alpha)}$
      • Biến điểm M thành M' sao cho $OM=OM'$ và góc $(OM, OM')=\alpha$.
    • Mối liên hệ
      • Đa giác đều n cạnh biến thành chính nó qua phép quay tâm O, góc $k \cdot \frac{360^\circ}{n}$.

Ví dụ Minh họa

Ví dụ 1: Tính góc của đa giác đều

Tính số đo một góc của lục giác đều (6 cạnh).

Giải: Áp dụng công thức với $n=6$:
Số đo góc = $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Ví dụ 2: Phép quay và hình vuông

Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm phép quay biến điểm A thành điểm C.

Giải: Ta có $OA=OC$ và góc $\widehat{AOC} = 180^\circ$.
Vậy phép quay tâm O, góc quay $180^\circ$ (hoặc $-180^\circ$) sẽ biến điểm A thành điểm C. Đây chính là phép đối xứng tâm O.

Sai lầm thường gặp

1. Nhầm lẫn giữa "đều" và "có các cạnh bằng nhau" hoặc "các góc bằng nhau"

Lỗi: Cho rằng một hình thoi (có các cạnh bằng nhau) là đa giác đều, hoặc một hình chữ nhật (có các góc bằng nhau) là đa giác đều.

Khắc phục: Ghi nhớ đa giác đều phải thỏa mãn **cả hai** điều kiện: các cạnh bằng nhau VÀ các góc bằng nhau. Hình vuông là một ví dụ.

2. Tính sai góc quay đặc trưng

Lỗi: Khi tìm góc quay để đa giác đều n cạnh biến thành chính nó, lại lấy góc $180^\circ$ hoặc $360^\circ$ thay vì góc $\frac{360^\circ}{n}$.

Khắc phục: Góc quay nhỏ nhất để đa giác đều n cạnh biến thành chính nó luôn là $\frac{360^\circ}{n}$.

Bài tập

Bài tập Cơ bản

Bài 1: Phép quay tâm O góc $60^\circ$ biến tam giác đều ABC tâm O thành hình nào?

Xem đáp án

Tam giác đều là đa giác đều 3 cạnh. Góc quay đặc trưng là $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Phép quay tâm O góc $60^\circ$ không biến tam giác thành chính nó, mà biến nó thành một tam giác đều mới xoay đi một góc $60^\circ$ so với tam giác cũ.

Bài 2: Ngũ giác đều (5 cạnh) có bao nhiêu trục đối xứng?

Xem đáp án

Một đa giác đều n cạnh có n trục đối xứng.

Nếu n lẻ, trục đối xứng là đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện. Ngũ giác đều có 5 trục đối xứng.

Nếu n chẵn, trục đối xứng gồm các đường thẳng đi qua hai đỉnh đối diện và các đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện.

Bài tập Nâng cao

Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép quay tâm O, góc quay $120^\circ$.

Xem đáp án

Lục giác đều có góc quay đặc trưng là $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Phép quay tâm O góc $120^\circ$ (bằng $2 \times 60^\circ$) sẽ biến:

  • Điểm O thành chính nó.
  • Điểm A thành điểm C.
  • Điểm B thành điểm D.

Vậy ảnh của tam giác OAB qua phép quay này là tam giác OCD.