Nếu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), thì:
Lưu ý quan trọng: Định lí này chỉ áp dụng khi phương trình có nghiệm, tức là $\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$ (hoặc $\Delta' = (b')^2 - ac \ge 0$).
Nếu hai số $u$ và $v$ có tổng $u+v = S$ và tích $u \cdot v = P$, thì $u$ và $v$ là các nghiệm của phương trình:
$$X^2 - SX + P = 0$$Điều kiện tồn tại $u,v$: $S^2 - 4P \ge 0$.
Ví dụ 1: Không giải phương trình $x^2 - 5x + 3 = 0$, hãy tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$.
Giải:
Phương trình có $a=1, b=-5, c=3$.
Ta có $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(3) = 25 - 12 = 13 > 0$, vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét:
$S = x_1+x_2 = -(-5)/1 = 5$
$P = x_1 \cdot x_2 = 3/1 = 3$
Ta có: $A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P = 5^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19$.
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trình $2025x^2 - 2024x - 1 = 0$.
Giải: Ta có $a=2025, b=-2024, c=-1$. Nhận thấy $a+b+c = 2025 + (-2024) + (-1) = 0$. Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2025}$.
Ví dụ 3: Tìm $m$ để phương trình $x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$.
Giải:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
$\Delta' = (-(m-1))^2 - (m^2-3) = m^2-2m+1 - m^2+3 = -2m+4$.
Phương trình có nghiệm khi $\Delta' \ge 0 \iff -2m+4 \ge 0 \iff m \le 2$.
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét.
$S = x_1+x_2 = 2(m-1)$
$P = x_1 \cdot x_2 = m^2 - 3$
Bước 3: Biến đổi và giải điều kiện bài toán.
$x_1^2 + x_2^2 = 10 \iff (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10 \iff S^2 - 2P = 10$.
$\iff (2(m-1))^2 - 2(m^2-3) = 10$
$\iff 4(m^2-2m+1) - 2m^2+6 = 10$
$\iff 4m^2-8m+4 - 2m^2+6 = 10$
$\iff 2m^2-8m = 0 \iff 2m(m-4) = 0$.
$\iff m=0$ hoặc $m=4$.
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện.
So với điều kiện $m \le 2$, ta nhận $m=0$ và loại $m=4$.
Vậy giá trị cần tìm là $m=0$.
Lỗi: Khi giải các bài toán chứa tham số $m$, học sinh thường áp dụng ngay hệ thức Vi-ét mà quên không đặt điều kiện $\Delta \ge 0$ (hoặc $\Delta' \ge 0$) trước tiên.
Hậu quả: Có thể tìm ra các giá trị của $m$ làm cho phương trình vô nghiệm, dẫn đến kết quả sai.
Khắc phục: Luôn thực hiện bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm là bước đầu tiên.
Lỗi: Nhầm lẫn giữa $S = -\frac{b}{a}$ và $S = \frac{b}{a}$.
Khắc phục: Luôn tâm niệm "Tổng **trái** dấu b, Tích **cùng** dấu c". Công thức tính tổng có dấu trừ ở phía trước.
Lỗi: Sử dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình chưa được đưa về dạng $ax^2 + bx + c = 0$.
Ví dụ: Với phương trình $2x^2 = 3x - 1$, nếu vội vàng kết luận $a=2, b=3, c=-1$ là sai.
Khắc phục: Luôn chuyển vế và sắp xếp phương trình về đúng dạng chuẩn trước khi xác định các hệ số $a, b, c$. (Phương trình trên phải là $2x^2 - 3x + 1 = 0$).
Bài 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình sau (nếu có):
a) $x^2 - 10x + 21 = 0$
b) $5x^2 + 2x - 3 = 0$
a) PT có $\Delta' = (-5)^2 - 21 = 4 > 0$. $S = 10, P = 21$.
b) PT có $a-b+c = 5-2+(-3)=0$ nên có nghiệm. $S = -2/5, P = -3/5$.
Bài 2: Tìm hai số $u$ và $v$ biết:
a) $u+v = 11$ và $u \cdot v = 28$.
b) $u+v = -5$ và $u \cdot v = -14$.
a) $u, v$ là nghiệm của pt $X^2 - 11X + 28 = 0$. Giải ra được $X=4$ và $X=7$. Vậy hai số cần tìm là 4 và 7.
b) $u, v$ là nghiệm của pt $X^2 + 5X - 14 = 0$. Giải ra được $X=2$ và $X=-7$. Vậy hai số cần tìm là 2 và -7.
Bài 1: Cho phương trình $x^2 - 4x + m - 1 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1^3 + x_2^3 = 28$.
1. Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt: $\Delta' = (-2)^2 - (m-1) = 4 - m + 1 = 5-m > 0 \iff m < 5$.
2. Hệ thức Vi-ét: $S = 4, P = m-1$.
3. Biến đổi biểu thức:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = S \cdot (S^2 - 3P)$.
Ta có: $S(S^2-3P) = 28 \iff 4(4^2 - 3(m-1)) = 28$.
$\iff 16 - 3(m-1) = 7 \iff 16 - 3m + 3 = 7 \iff 19 - 3m = 7$.
$\iff 3m = 12 \iff m=4$.
4. Đối chiếu điều kiện: $m=4$ thỏa mãn $m<5$. Vậy $m=4$ là giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho phương trình $x^2 - (m+1)x + m = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt, cần thỏa mãn 3 điều kiện đồng thời:
1) $\Delta > 0 \iff (-(m+1))^2 - 4m > 0 \iff m^2+2m+1-4m > 0 \iff m^2-2m+1 > 0 \iff (m-1)^2 > 0 \iff m \neq 1$.
2) $P > 0 \iff \frac{c}{a} = m > 0$.
3) $S > 0 \iff -\frac{b}{a} = m+1 > 0 \iff m > -1$.
Kết hợp cả 3 điều kiện: $m > 0$ và $m \neq 1$.