Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.
Tâm: Là giao điểm của ba **đường trung trực** của ba cạnh.
Định nghĩa: Đường tròn nội tiếp một tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó.
Tâm: Là giao điểm của ba **đường phân giác** của ba góc trong. Tâm này luôn nằm bên trong tam giác.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có $AB = 6$ cm và $AC = 8$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp (R) và nội tiếp (r).
Giải:
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có cạnh huyền $BC = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm.
- **Bán kính ngoại tiếp:** Tâm là trung điểm cạnh huyền.
$R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm.
- **Bán kính nội tiếp:** Áp dụng công thức $r = \frac{b+c-a}{2}$ (với b,c là cạnh góc vuông, a là cạnh huyền).
$r = \frac{AB+AC-BC}{2} = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ cm.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng $12$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp (R) và nội tiếp (r).
Giải:
Áp dụng công thức cho tam giác đều cạnh $a=12$ cm:
- **Bán kính ngoại tiếp:** $R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ cm.
- **Bán kính nội tiếp:** $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$ cm.
Lỗi: Nhầm lẫn tâm đường tròn ngoại tiếp (giao 3 đường trung trực) với tâm đường tròn nội tiếp (giao 3 đường phân giác), hoặc với trọng tâm (giao 3 đường trung tuyến), trực tâm (giao 3 đường cao).
Khắc phục: Ghi nhớ cặp "từ khóa": **Ngoại tiếp - Trung trực** và **Nội tiếp - Phân giác**.
Lỗi: Sử dụng công thức tính bán kính của tam giác vuông hoặc tam giác đều cho một tam giác thường.
Khắc phục: Các công thức đặc biệt $R=\frac{a}{2}$, $r=\frac{b+c-a}{2}$,... chỉ dành cho các tam giác đặc biệt tương ứng. Với tam giác thường, phải dựa vào định nghĩa (tìm giao điểm trung trực/phân giác) hoặc các công thức tổng quát hơn (như định lí sin, S=pr).
Bài 1: Một tam giác đều có chiều cao là $9$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác đó.
Trong tam giác đều, tâm O (trọng tâm) chia đường cao AH theo tỉ lệ 2:1.
Bán kính ngoại tiếp: $R = OA = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ cm.
Bán kính nội tiếp: $r = OH = \frac{1}{3}AH = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ cm.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=5, AC=12$. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính khoảng cách AI.
Trước hết, tính cạnh huyền $BC = \sqrt{5^2+12^2} = 13$.
Bán kính đường tròn nội tiếp: $r = \frac{5+12-13}{2} = 2$.
Kẻ $ID \perp AB$ tại D, $IE \perp AC$ tại E. Khi đó $ADIE$ là hình vuông cạnh $r=2$.
Suy ra $AD=AE=2$.
Xét tam giác ADI vuông tại D, ta có $AI^2 = AD^2 + DI^2 = 2^2 + 2^2 = 8$.
Vậy $AI = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Biết $a=BC=12$ và góc $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp.
Áp dụng định lí sin trong tam giác:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$Ta có: $\frac{a}{\sin A} = 2R$.
$\implies R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{12}{2 \sin 60^\circ} = \frac{12}{2 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp là $4\sqrt{3}$.