Khái niệm và Tính chất cơ bản của Đường tròn 🔵

Định nghĩa & Tính chất

1. Định nghĩa và các yếu tố cơ bản

Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R, ký hiệu $(O; R)$, là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

Tâm (O): Điểm cố định mà mọi điểm trên đường tròn đều cách đều.
Bán kính (R): Khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn.
Dây cung: Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn.
Đường kính (D): Dây cung đi qua tâm. Đường kính là dây cung lớn nhất và có độ dài $D = 2R$.

2. Tính chất cơ bản

Tính chất đối xứng: Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của nó, và có trục đối xứng là bất kỳ đường kính nào.
Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung:
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung ấy.
- Ngược lại, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
- Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
- Ngược lại, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

3. Sơ đồ tư duy

Đường tròn
- Các yếu tố
  - Tâm O, Bán kính R, Đường kính D=2R, Dây cung.
- Tính chất
  - Đối xứng (tâm, trục).
  - Đường kính $\perp$ dây cung $\iff$ đi qua trung điểm dây.
  - Dây bằng nhau $\iff$ cách đều tâm.
  - Dây lớn hơn $\iff$ gần tâm hơn.

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Xét hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ với $R \ge r$. Gọi $d = OO'$ là khoảng cách giữa hai tâm.

Hai đường tròn cắt nhau:
- Số điểm chung: 2
- Hệ thức: $R-r < d < R+r$
Hai đường tròn tiếp xúc nhau:
- Số điểm chung: 1
- Tiếp xúc ngoài: $d = R+r$
- Tiếp xúc trong: $d = R-r$
Hai đường tròn không giao nhau:
- Số điểm chung: 0
- Ở ngoài nhau: $d > R+r$
- Đựng nhau: $d < R-r$

Ví dụ Minh họa

Ví dụ 1: Tính độ dài dây cung

Cho đường tròn $(O; 10 \text{ cm})$ và dây cung AB. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 8 cm. Tính độ dài dây AB.

Giải: Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến AB. Ta có H là trung điểm của AB.
Xét tam giác OAH vuông tại H, ta có:
$OA^2 = OH^2 + AH^2$ (định lí Py-ta-go)
$10^2 = 8^2 + AH^2 \implies 100 = 64 + AH^2 \implies AH^2 = 36 \implies AH = 6$ cm.
Vì H là trung điểm AB nên $AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 6 = 12$ cm.

Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối

Cho hai đường tròn $(O; 5 \text{ cm})$ và $(O'; 2 \text{ cm})$. Khoảng cách hai tâm $OO' = 8$ cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Giải: Ta có $R=5, r=2, d=8$.
Tính tổng bán kính: $R+r = 5+2 = 7$ cm.
So sánh $d$ và $R+r$: $8 > 7$, tức là $d > R+r$.
Vậy hai đường tròn này ở ngoài nhau và không giao nhau.

Sai lầm thường gặp

1. Nhầm lẫn Bán kính và Đường kính

Lỗi: Sử dụng đường kính trong các công thức yêu cầu bán kính, hoặc ngược lại.

Khắc phục: Luôn đọc kỹ đề bài và xác định rõ đâu là R, đâu là D. Nhớ rằng $D=2R$.

2. Áp dụng sai tính chất đường kính và dây cung

Lỗi: Cho rằng đường kính đi qua trung điểm một dây cung thì luôn vuông góc với dây đó (sai, vì có thể đó là một đường kính khác).

Khắc phục: Ghi nhớ tính chất chỉ đúng khi dây cung đó không phải là đường kính.

3. Sai hệ thức về vị trí tương đối

Lỗi: Nhầm lẫn giữa các điều kiện. Ví dụ, nhầm điều kiện "cắt nhau" ($R-r < d < R+r$) với "ở ngoài nhau" ($d > R+r$).

Khắc phục: Vẽ hình nháp để hình dung. Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau, khoảng cách $d$ phải lớn hơn tổng bán kính. Nếu cắt nhau, $d$ phải nhỏ hơn tổng nhưng lớn hơn hiệu.

Bài tập

Bài tập Cơ bản

Bài 1: Cho hai đường tròn $(O; 10 \text{ cm})$ và $(O'; 6 \text{ cm})$ cắt nhau tại A và B. Biết đoạn nối tâm $OO' = 12$ cm. Tính độ dài dây chung AB.

Xem đáp án

Gọi H là giao điểm của OO' và AB. Ta có $OO' \perp AB$ và H là trung điểm AB.

Đặt $OH = x$, thì $O'H = 12-x$.

Trong $\triangle OAH$ vuông tại H: $AH^2 = OA^2 - OH^2 = 10^2 - x^2 = 100 - x^2$.

Trong $\triangle O'AH$ vuông tại H: $AH^2 = O'A^2 - O'H^2 = 6^2 - (12-x)^2 = 36 - (144 - 24x + x^2)$.

Suy ra $100 - x^2 = 36 - 144 + 24x - x^2 \iff 100 = -108 + 24x \iff 208 = 24x \iff x = \frac{26}{3}$ cm.

$AH^2 = 100 - (\frac{26}{3})^2 = 100 - \frac{676}{9} = \frac{224}{9} \implies AH = \frac{\sqrt{224}}{3} = \frac{4\sqrt{14}}{3}$ cm.

$AB = 2AH = \frac{8\sqrt{14}}{3}$ cm.

Bài tập Nâng cao

Bài 2: Cho đường tròn $(O; R)$. Hai dây AB và CD song song với nhau và $AB > CD$. Chứng minh rằng cung AC bằng cung BD.

Xem đáp án

Vì $AB \parallel CD$ nên tứ giác ABDC là hình thang.

Kẻ đường kính MN vuông góc với AB và CD (tại H và K). Vì MN là trục đối xứng của đường tròn, nó cũng là trục đối xứng của hình thang ABDC.

Hình thang có trục đối xứng đi qua trung điểm hai đáy là hình thang cân.

Do đó, ABDC là hình thang cân $\implies AC = BD$.

Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Vậy, cung AC bằng cung BD.