Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
$$ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} $$Trong đó, $a, b, c, a', b', c'$ là các số thực đã cho. $x$ và $y$ là hai ẩn số.
Nghiệm của hệ là một cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho khi thay vào cả hai phương trình của hệ, ta đều được mệnh đề đúng.
Giải hệ phương trình: $ \begin{cases} x - 3y = 2 & (1) \\ -2x + 5y = 1 & (2) \end{cases} $
Giải:
Từ phương trình (1), ta rút $x$ theo $y$: $x = 2 + 3y$ (3).
Thế (3) vào phương trình (2), ta được:
$-2(2+3y) + 5y = 1$
$\iff -4 - 6y + 5y = 1$
$\iff -y = 5 \iff y = -5$.
Thay $y=-5$ vào (3), ta có: $x = 2 + 3(-5) = 2 - 15 = -13$.
Vậy nghiệm của hệ là $(-13; -5)$.
Giải hệ phương trình: $ \begin{cases} 3x + 2y = 7 & (1) \\ 2x - 3y = -4 & (2) \end{cases} $
Giải:
Để khử ẩn $y$, ta nhân hai vế của (1) với 3 và nhân hai vế của (2) với 2:
$ \begin{cases} 9x + 6y = 21 \\ 4x - 6y = -8 \end{cases} $
Cộng vế theo vế hai phương trình, ta được:
$(9x+4x) + (6y-6y) = 21 + (-8)$
$\iff 13x = 13 \iff x = 1$.
Thay $x=1$ vào phương trình (1): $3(1) + 2y = 7 \iff 3 + 2y = 7 \iff 2y = 4 \iff y=2$.
Vậy nghiệm của hệ là $(1; 2)$.
Lỗi: Đây là lỗi phổ biến nhất. Ví dụ: khi trừ vế theo vế $(2x-3y) - (2x+5y) = 4 - 8$ lại viết thành $2x-3y-2x+5y = -4$.
Khắc phục: Khi trừ một đa thức, hãy đặt nó trong ngoặc rồi mới phá ngoặc đổi dấu cẩn thận: $(2x-3y) - (2x+5y) = 2x-3y-2x-5y = -8y$.
Lỗi: Khi dùng phương pháp cộng, muốn nhân phương trình $2x+y=3$ với 2 để khử $y$ trong hệ khác, lại chỉ nhân hạng tử chứa $y$ và viết thành $2x+2y=3$.
Khắc phục: Ghi nhớ rằng phải nhân **tất cả các hạng tử** ở cả hai vế với cùng một số. Cách viết đúng: $2(2x+y) = 2(3) \iff 4x+2y=6$.
Lỗi: Giải ra được $x=2$ và kết luận đó là nghiệm của hệ.
Khắc phục: Luôn nhớ rằng nghiệm của hệ hai ẩn là một **cặp số** $(x, y)$. Sau khi tìm được một ẩn, bắt buộc phải làm bước cuối cùng là thay vào để tìm nốt ẩn còn lại.
Bài 1: Giải hệ phương trình $ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases} $.
Dùng phương pháp thế. Từ PT đầu rút $y = 5x - 3$.
Thế vào PT thứ hai: $2x + 3(5x - 3) = 8 \iff 2x + 15x - 9 = 8 \iff 17x = 17 \iff x=1$.
Suy ra $y = 5(1) - 3 = 2$.
Nghiệm của hệ là $(1; 2)$.
Bài 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 19 và hiệu của chúng bằng 7.
Gọi hai số cần tìm là $x$ và $y$. Ta có hệ: $ \begin{cases} x + y = 19 \\ x - y = 7 \end{cases} $.
Cộng vế theo vế hai phương trình, ta được $2x = 26 \iff x = 13$.
Thay vào phương trình đầu: $13 + y = 19 \iff y = 6$.
Hai số cần tìm là 13 và 6.
Bài 1: Giải hệ phương trình $ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y-1} = 5 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y-1} = -2 \end{cases} $.
Điều kiện: $x \neq 0, y \neq 1$.
Đặt $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y-1}$. Hệ trở thành: $ \begin{cases} 2u + 3v = 5 \\ u - v = -2 \end{cases} $.
Giải hệ này, ta được $u = -1/5, v = 9/5$.
Quay lại phép đặt:
$\frac{1}{x} = -\frac{1}{5} \implies x = -5$.
$\frac{1}{y-1} = \frac{9}{5} \implies 9(y-1) = 5 \implies 9y - 9 = 5 \implies 9y = 14 \implies y = \frac{14}{9}$.
Nghiệm của hệ là $(-5; \frac{14}{9})$.
Bài 2: Tìm giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình $ \begin{cases} mx + 4y = m+2 \\ x + my = m \end{cases} $ có vô số nghiệm.
Hệ có vô số nghiệm khi các hệ số tương ứng tỉ lệ với nhau:
$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \iff \frac{m}{1} = \frac{4}{m} = \frac{m+2}{m}$. (Điều kiện $m \neq 0$)
Từ $\frac{m}{1} = \frac{4}{m} \implies m^2 = 4 \implies m = 2$ hoặc $m = -2$.
Xét $m=2$: $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{2+2}{2} \iff 2=2=2$. (Thỏa mãn)
Xét $m=-2$: $\frac{-2}{1} = \frac{4}{-2} = \frac{-2+2}{-2} \iff -2=-2=0$. (Vô lý)
Vậy, hệ có vô số nghiệm khi $m=2$.