Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. Hai cạnh của góc cắt đường tròn tại hai điểm, phần cung tròn nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
Tính chất: Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.
$$ \widehat{AOB} = \text{sđ}\overset{\frown}{AmB} $$Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung của đường tròn đó. Cung tròn nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
Định lí: Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn.
$$ \widehat{BAC} = \frac{1}{2} \text{sđ}\overset{\frown}{BC} $$Ví dụ 1: Cho đường tròn $(O)$ và một cung $\overset{\frown}{AB}$ có số đo là $100^\circ$.
a) Tính số đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$.
b) Lấy một điểm C bất kì trên cung lớn AB. Tính số đo góc nội tiếp $\widehat{ACB}$.
Giải:
a) Vì góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn, nên $\widehat{AOB} = \text{sđ}\overset{\frown}{AB} = 100^\circ$.
b) Góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ chắn cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$. Do đó, số đo của nó bằng một nửa số đo cung bị chắn:
$\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \text{sđ}\overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ$.
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O)$ có đường kính BC. Lấy điểm A trên đường tròn (A khác B và C). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
Giải:
Xét tam giác ABC, có góc $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC. Cung bị chắn $\overset{\frown}{BC}$ có số đo là $180^\circ$.
Theo hệ quả của góc nội tiếp, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Do đó, $\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \text{sđ}\overset{\frown}{BC} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
Vậy, tam giác ABC vuông tại A.
Lỗi: Lấy số đo góc nội tiếp bằng số đo cung bị chắn, hoặc lấy số đo góc ở tâm bằng một nửa số đo cung bị chắn.
Khắc phục: Ghi nhớ "Tâm thì **bằng** - Nội tiếp thì **chia đôi**".
Lỗi: Đặc biệt với các góc nội tiếp tù (lớn hơn 90°), học sinh có thể nhìn nhầm vào cung nhỏ thay vì cung lớn mà góc đó thực sự chắn.
Khắc phục: Luôn kéo dài hai cạnh của góc để xem chúng cắt đường tròn tại hai điểm nào, cung nằm giữa hai điểm đó chính là cung bị chắn.
Lỗi: Thấy một góc bằng 90° thì vội kết luận nó chắn nửa đường tròn mà không kiểm tra đỉnh góc có nằm trên đường tròn không. Hoặc thấy hai góc bằng nhau thì kết luận chúng cùng chắn một cung.
Khắc phục: Luôn kiểm tra đầy đủ các điều kiện của định lí và hệ quả trước khi áp dụng. Đỉnh góc phải nằm trên đường tròn và hai cạnh phải là dây cung.
Bài 1: Trên đường tròn $(O)$, cho góc nội tiếp $\widehat{MNP} = 70^\circ$. Tính số đo cung bị chắn $\overset{\frown}{MP}$.
Số đo cung bị chắn bằng hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó.
$\text{sđ}\overset{\frown}{MP} = 2 \cdot \widehat{MNP} = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$.
Bài 2: Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm A, B trên đường tròn sao cho góc ở tâm $\widehat{AOB} = 130^\circ$. Gọi C là một điểm trên cung nhỏ AB. Tính số đo góc $\widehat{ACB}$.
Góc $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung lớn $\overset{\frown}{AB}$.
Số đo cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ là $130^\circ$.
Số đo cung lớn $\overset{\frown}{AB}$ là $360^\circ - 130^\circ = 230^\circ$.
$\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \text{sđ (cung lớn } \overset{\frown}{AB}) = \frac{1}{2} \cdot 230^\circ = 115^\circ$.
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Kẻ đường cao AH. Kéo dài AH cắt đường tròn tại D. Chứng minh rằng BC là tia phân giác của góc $\widehat{OBD}$.
(Đây là một bài toán khó, đòi hỏi kết hợp nhiều kiến thức)
Bài toán này có vẻ không chính xác. Một bài toán phổ biến và đúng hơn là: "Chứng minh BC là tia phân giác của góc $\widehat{HBD}$" hoặc "Chứng minh tam giác BCD cân". Ta sẽ chứng minh ý "BC là tia phân giác của $\widehat{HBD}$".
Ta có $\widehat{C_1} = \widehat{A_1}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
Xét tam giác vuông AHC, ta có $\widehat{A_1} + \widehat{C_1} = 90^\circ$ là sai. Phải là $\widehat{A_1} + \widehat{ACH} = 90^\circ$.
Cách tiếp cận đúng:
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có $\widehat{B_1} + \widehat{BAH} = 90^\circ$.
Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Ta có $\widehat{ACK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Trong tam giác vuông ACK, $\widehat{AKC} + \widehat{CAK} = 90^\circ$.
Mà $\widehat{AKC} = \widehat{ABC}$ (cùng chắn cung AC).
Từ đó suy ra $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$).
Do đó, cung BD = cung CD, dẫn đến D là điểm chính giữa cung BC. Điều này không dẫn đến kết luận của đề bài. Đề bài gốc có thể có nhầm lẫn. Một kết quả đúng là $H$ và $D$ đối xứng nhau qua $BC$.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB không qua tâm. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây MC cắt AB tại I. Chứng minh rằng tam giác MAI và tam giác MCA đồng dạng.
Xét $\triangle MAI$ và $\triangle MCA$, ta có:
1. $\widehat{M}$ là góc chung.
2. $\widehat{MAI}$ (hay $\widehat{MAB}$) là góc nội tiếp chắn cung MB.
3. $\widehat{MCA}$ là góc nội tiếp chắn cung MA.
Vì M là điểm chính giữa cung AB nên sđ cung MA = sđ cung MB.
Theo hệ quả, các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau $\implies \widehat{MAI} = \widehat{MCA}$.
Do đó, $\triangle MAI \sim \triangle MCA$ (góc - góc).