Hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) và Đồ thị Parabol 📈

Lý thuyết & Tính chất

1. Tính chất của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)

Hàm số được xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$. Tính chất của hàm số phụ thuộc vào dấu của hệ số $a$.

  • Trường hợp $a > 0$:
    • Hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.
    • $y=0$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt được khi $x=0$.
    • $y \ge 0$ với mọi giá trị của $x$.
  • Trường hợp $a < 0$:
    • Hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.
    • $y=0$ là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt được khi $x=0$.
    • $y \le 0$ với mọi giá trị của $x$.

2. Đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)

Đồ thị của hàm số $y = ax^2$ là một đường cong được gọi là Parabol.

  • Đồ thị có đỉnh là gốc tọa độ $O(0, 0)$.
  • Đồ thị nhận trục tung ($Oy$) làm trục đối xứng.
  • Nếu $a > 0$: Đồ thị nằm phía trên trục hoành, có bề lõm hướng lên trên. Đỉnh $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.
  • Nếu $a < 0$: Đồ thị nằm phía dưới trục hoành, có bề lõm hướng xuống dưới. Đỉnh $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.

3. Sơ đồ tư duy

  • Hàm số $y=ax^2$ ($a \neq 0$)
    • Tính chất hàm số
      • $a > 0$: Nghịch biến khi $x<0$, đồng biến khi $x>0$. GTNN là $y=0$.
      • $a < 0$: Đồng biến khi $x<0$, nghịch biến khi $x>0$. GTLN là $y=0$.
    • Đồ thị (Parabol)
      • Đỉnh $O(0,0)$, trục đối xứng $Oy$.
      • $a > 0$: Bề lõm hướng lên, nằm trên trục $Ox$.
      • $a < 0$: Bề lõm hướng xuống, nằm dưới trục $Ox$.

Ví dụ & Hướng dẫn vẽ đồ thị

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số $y = 2x^2$ ($a=2 > 0$)

Bước 1: Xác định tính chất

Đồ thị là một Parabol có đỉnh $O(0,0)$, nhận $Oy$ làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

Bước 2: Lập bảng giá trị

Chọn một vài giá trị của $x$ và tính giá trị $y$ tương ứng. Vì đồ thị đối xứng qua $Oy$, ta nên chọn các cặp giá trị đối nhau của $x$.

$x$-2-1012
$y = 2x^2$82028

Bước 3: Vẽ đồ thị

Biểu diễn các điểm $(-2, 8), (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (2, 8)$ trên mặt phẳng tọa độ và nối chúng lại bằng một đường cong trơn, ta được Parabol cần vẽ.

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số $y = -\frac{1}{2}x^2$ ($a=-\frac{1}{2} < 0$)

Bước 1: Xác định tính chất

Đồ thị là một Parabol có đỉnh $O(0,0)$, nhận $Oy$ làm trục đối xứng, bề lõm hướng xuống dưới.

Bước 2: Lập bảng giá trị

$x$-4-2024
$y = -\frac{1}{2}x^2$-8-20-2-8

Bước 3: Vẽ đồ thị

Biểu diễn các điểm $(-4, -8), (-2, -2), (0, 0), (2, -2), (4, -8)$ trên mặt phẳng tọa độ và nối chúng lại bằng một đường cong trơn.

Sai lầm thường gặp

1. Vẽ đồ thị thành hình chữ "V"

Lỗi: Nối các điểm trên đồ thị bằng các đoạn thẳng, tạo ra một hình nhọn ở đỉnh thay vì một đường cong mềm mại.

Khắc phục: Luôn nhớ Parabol là một đường cong. Sau khi chấm các điểm, hãy vẽ một đường cong trơn đi qua chúng, lượn cong ở đỉnh.

2. Tính sai giá trị của y với x âm

Lỗi: Khi tính $y = ax^2$ với $x < 0$, quên rằng $x^2$ luôn dương. Ví dụ: với $y = 3x^2$ và $x=-2$, tính sai thành $y = 3(-2)^2 = 3(-4) = -12$.

Khắc phục: Nhớ quy tắc lũy thừa: $(-x)^2 = x^2$. Tính đúng phải là $y = 3(-2)^2 = 3(4) = 12$.

3. Nhầm lẫn chiều của Parabol

Lỗi: Vẽ đồ thị với $a>0$ nhưng bề lõm lại hướng xuống và ngược lại.

Khắc phục: Ghi nhớ mẹo: $a$ dương $\implies$ Parabol "cười" (hướng lên). $a$ âm $\implies$ Parabol "mếu" (hướng xuống).

Bài tập Cơ bản

Bài 1: Cho hàm số $y = -5x^2$. Không vẽ đồ thị, hãy cho biết:

a) Hàm số đồng biến và nghịch biến trên những khoảng nào?

b) Giá trị lớn nhất của hàm số là bao nhiêu, đạt được khi nào?

Xem đáp án

Vì $a = -5 < 0$, nên:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0, +\infty)$.

b) Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=0$, đạt được khi $x=0$.

Bài 2: Điểm $M(2, -12)$ có thuộc đồ thị hàm số $y = -3x^2$ không? Vì sao?

Xem đáp án

Để kiểm tra, ta thay tọa độ điểm M vào hàm số.

Thay $x=2$ vào hàm số, ta có: $y = -3(2)^2 = -3(4) = -12$.

Vì giá trị y tính được bằng tung độ của điểm M, nên điểm $M(2, -12)$ có thuộc đồ thị hàm số.

Bài tập Nâng cao

Bài 1: Tìm hệ số $a$ của hàm số $y = ax^2$, biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm $A(-2, 2)$.

Xem đáp án

Vì đồ thị đi qua điểm $A(-2, 2)$, nên tọa độ của A phải thỏa mãn phương trình hàm số. Ta thay $x=-2$ và $y=2$ vào hàm số:

$2 = a(-2)^2$

$2 = a(4)$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Vậy hệ số cần tìm là $a = \frac{1}{2}$. Hàm số đó là $y = \frac{1}{2}x^2$.

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của Parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = 2x + 3$.

Xem đáp án

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

$x^2 = 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Đây là phương trình bậc hai có $a-b+c = 1 - (-2) - 3 = 0$, nên phương trình có hai nghiệm là $x_1 = -1$ và $x_2 = -\frac{c}{a} = 3$.

  • Với $x = -1$, thay vào $(P)$ ta được $y = (-1)^2 = 1$. Ta có giao điểm thứ nhất là $A(-1, 1)$.
  • Với $x = 3$, thay vào $(P)$ ta được $y = 3^2 = 9$. Ta có giao điểm thứ hai là $B(3, 9)$.

Vậy có hai giao điểm là $A(-1, 1)$ và $B(3, 9)$.