Phương trình bậc nhất hai ẩn & Hệ phương trình

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ là hệ thức có dạng:

$$ ax + by = c $$

Trong đó $a, b, c$ là các hằng số, với điều kiện $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0 ($a^2 + b^2 \neq 0$).

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:

$$ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} $$

Nghiệm của hệ là cặp số $(x_0; y_0)$ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.

3. Sơ đồ cây

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Phương pháp giải
  - Phương pháp thế
  - Phương pháp cộng đại số
- Số nghiệm
  - Một nghiệm duy nhất
  - Vô số nghiệm
  - Vô nghiệm

1. Tính chất và Biểu diễn hình học

Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$ luôn có vô số nghiệm.
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các nghiệm được biểu diễn bởi một đường thẳng $(d): ax+by=c$.

Đối với hệ phương trình, số nghiệm của hệ chính là số điểm chung của hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ tương ứng:

Một nghiệm duy nhất: $(d_1)$ và $(d_2)$ cắt nhau. Điều kiện: $\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$.
Vô nghiệm: $(d_1)$ và $(d_2)$ song song. Điều kiện: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$.
Vô số nghiệm: $(d_1)$ và $(d_2)$ trùng nhau. Điều kiện: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$.

(Lưu ý: các tỉ số trên xét khi $a', b', c'$ khác 0)

2. Các phương pháp giải

a. Phương pháp thế

Từ một phương trình, rút một ẩn theo ẩn còn lại (ví dụ, rút $x$ theo $y$).
Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại.
Giải phương trình một ẩn vừa thu được.
Thay giá trị vừa tìm được vào biểu thức ở bước 1 để tìm ẩn còn lại.

b. Phương pháp cộng đại số

Nhân hai vế của các phương trình với số thích hợp để hệ số của một ẩn trong hai phương trình là đối nhau.
Cộng vế theo vế hai phương trình để khử đi một ẩn.
Giải phương trình một ẩn vừa thu được.
Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bằng phương pháp thế

Giải hệ phương trình: $ \begin{cases} x - 2y = 3 & (1) \\ 3x + 2y = 1 & (2) \end{cases} $

Lời giải:

Từ (1) rút $x$: $x = 2y + 3$. (3)

Thế (3) vào (2): $3(2y + 3) + 2y = 1$

$\Leftrightarrow 6y + 9 + 2y = 1 \Leftrightarrow 8y = -8 \Leftrightarrow y = -1$

Thay $y = -1$ vào (3): $x = 2(-1) + 3 = 1$

Vậy, nghiệm của hệ là $(x; y) = (1; -1)$.

Ví dụ 2: Giải bằng phương pháp cộng đại số

Giải hệ phương trình: $ \begin{cases} 2x + 3y = 5 & (1) \\ 3x - 4y = -1 & (2) \end{cases} $

Lời giải:

Nhân (1) với 4 và nhân (2) với 3 để cân bằng hệ số của $y$:

$\begin{cases} 8x + 12y = 20 \\ 9x - 12y = -3 \end{cases}$

Cộng vế theo vế hai phương trình trên:

$(8x + 9x) + (12y - 12y) = 20 - 3 \Leftrightarrow 17x = 17 \Leftrightarrow x = 1$

Thay $x=1$ vào (1): $2(1) + 3y = 5 \Leftrightarrow 3y = 3 \Leftrightarrow y = 1$

Vậy, nghiệm của hệ là $(x; y) = (1; 1)$.

Những sai lầm thường gặp 😥

1. Sai sót khi chuyển vế đổi dấu

Đây là lỗi cơ bản nhưng rất dễ mắc phải. Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia, phải đổi dấu của nó.

Ví dụ sai: Từ $3x + 2y = 5$, rút ra $2y = 5 + 3x$ (Sai).
Đúng: $2y = 5 - 3x$.

2. Nhân không đủ các hạng tử trong một vế

Khi nhân một số vào một phương trình, phải nhân với tất cả các hạng tử ở cả hai vế.

Ví dụ sai: Nhân 2 vào phương trình $x-2y=3$ lại viết thành $2x-4y=3$ (Sai, quên nhân 2 với 3).
Đúng: $2x-4y=6$.

3. Nhầm lẫn dấu khi cộng trừ số âm

Trong phương pháp cộng đại số, việc trừ vế theo vế dễ gây nhầm lẫn về dấu.

Ví dụ sai: Lấy $(2x - y) - (x - y) = x - 2y$ (Sai).
Đúng: $2x - y - x + y = x$.

4. Kết luận sai thứ tự nghiệm (x; y)

Sau khi tìm ra giá trị của $x$ và $y$, phải kết luận nghiệm dưới dạng cặp số $(x; y)$ đúng thứ tự.

Bài tập cơ bản ✍️

Giải các hệ phương trình sau:

Bài 1: $ \begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} $

Cộng vế với vế ta được $2x=14 \Rightarrow x=7$.
Thay $x=7$ vào phương trình đầu: $7+y=10 \Rightarrow y=3$.
Nghiệm: $(7; 3)$.

Bài 2: $ \begin{cases} 4x - y = 5 \\ x + 3y = 9 \end{cases} $

Từ PT(1) rút $y = 4x-5$.
Thế vào PT(2): $x + 3(4x-5) = 9 \Leftrightarrow x + 12x - 15 = 9 \Leftrightarrow 13x = 24 \Leftrightarrow x=\frac{24}{13}$.
Thay $x=\frac{24}{13}$ vào $y=4x-5 \Rightarrow y=4(\frac{24}{13})-5 = \frac{96-65}{13} = \frac{31}{13}$.
Nghiệm: $(\frac{24}{13}; \frac{31}{13})$.

Bài 3: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ 4x + 2y = 3 \end{cases} $

Ta thấy $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} \neq \frac{1}{3}$.
Hai đường thẳng song song. Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Bài tập nâng cao 🚀

Bài 1: Giải hệ phương trình $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 3 \end{cases} $

ĐKXĐ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Đặt $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$. Hệ trở thành: $ \begin{cases} u + 2v = 1 \\ 3u - 2v = 3 \end{cases} $.

Cộng vế với vế ta được $4u = 4 \Rightarrow u=1$.
Thay $u=1$ vào PT đầu: $1+2v=1 \Rightarrow 2v=0 \Rightarrow v=0$.

Suy ra: $\frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x=1$. Và $\frac{1}{y} = 0$ (vô lý).

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm giá trị của $m$ để hệ phương trình $ \begin{cases} mx + 2y = 1 \\ 3x + (m+1)y = -1 \end{cases} $ có nghiệm duy nhất.

Hệ có nghiệm duy nhất khi $\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$.

$\Leftrightarrow \frac{m}{3} \neq \frac{2}{m+1}$

$\Leftrightarrow m(m+1) \neq 6$

$\Leftrightarrow m^2 + m - 6 \neq 0$

$\Leftrightarrow (m-2)(m+3) \neq 0$

Vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì $m \neq 2$ và $m \neq -3$.