Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
Xét $\triangle ABC$ vuông tại A:
"Giải tam giác vuông" là bài toán đi tìm tất cả các cạnh và các góc còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố, trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh (không kể góc vuông).
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh huyền $BC = 12$ cm và $\widehat{C} = 30^\circ$. Giải tam giác vuông ABC.
Giải:
1. Tính góc B: $\widehat{B} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. Tính cạnh AB (đối diện góc C):
$AB = BC \cdot \sin C = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ cm.
3. Tính cạnh AC (kề góc C):
$AC = BC \cdot \cos C = 12 \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ cm.
Ví dụ 2 (Bài toán thực tế): Một chiếc thang dài 4m tựa vào một bức tường. Góc tạo bởi thang và mặt đất là $70^\circ$. Hỏi chân thang cách tường bao nhiêu mét và thang đạt đến độ cao bao nhiêu so với mặt đất? (làm tròn 2 chữ số thập phân)
Giải:
Gọi tam giác vuông là ABC, với A là chân tường, B là chân thang, C là điểm thang tựa vào tường. Cạnh huyền BC = 4m, $\widehat{B} = 70^\circ$.
1. Chiều cao thang đạt được (AC):
$AC = BC \cdot \sin B = 4 \cdot \sin 70^\circ \approx 4 \cdot 0.94 \approx 3.76$ m.
2. Khoảng cách từ chân thang đến tường (AB):
$AB = BC \cdot \cos B = 4 \cdot \cos 70^\circ \approx 4 \cdot 0.34 \approx 1.36$ m.
Lỗi: Xác định sai cạnh đối và cạnh kề của một góc nhọn, dẫn đến việc áp dụng sai công thức.
Khắc phục: Luôn tự hỏi: "So với góc này, cạnh nào ở phía đối diện? Cạnh nào nằm ngay bên cạnh nó (mà không phải cạnh huyền)?".
Lỗi: Muốn tìm cạnh đối và cạnh huyền nhưng lại dùng Cosin, hoặc các nhầm lẫn tương tự.
Khắc phục: Học thuộc các câu thần chú: "Sin đi học (Đối/Huyền), Cos không hư (Kề/Huyền), Tan đoàn kết (Đối/Kề), Cotan kết đoàn (Kề/Đối)".
Lỗi: Đề bài cho góc bằng Độ (Degrees) nhưng máy tính đang ở chế độ Radian hoặc ngược lại. Đây là lỗi rất phổ biến và khó phát hiện.
Khắc phục: Trước khi tính toán, luôn kiểm tra màn hình máy tính có chữ "D" hoặc "DEG" hay không. Nếu thấy chữ "R" hoặc "RAD", bạn phải chuyển lại chế độ.
Bài 1: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết $AB = 8$ cm và $AC = 15$ cm.
1. Tính cạnh huyền BC: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17$ cm.
2. Tính các góc:
$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{8} \implies \widehat{B} \approx 61.93^\circ$.
$\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} \approx 90^\circ - 61.93^\circ = 28.07^\circ$.
Bài 2: Một cột cờ cao 9m. Tại một thời điểm, bóng của cột cờ trên mặt đất dài 12m. Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất lúc đó.
Gọi tam giác vuông ABC với A là chân cột cờ, AC là chiều cao cột cờ (9m), AB là chiều dài bóng (12m). Góc cần tìm là $\widehat{B}$.
$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{12} = 0.75$.
$\widehat{B} = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ$.
Bài 1: Cho tam giác ABC có $AB = 10, AC = 17$, và đường cao $AH = 8$. Tính cạnh BC.
Ta có hai tam giác vuông là ABH và ACH.
1. Trong $\triangle ABH$ vuông tại H:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100-64} = \sqrt{36} = 6$.
2. Trong $\triangle ACH$ vuông tại H:
$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289-64} = \sqrt{225} = 15$.
3. Tính BC: $BC = BH + CH = 6 + 15 = 21$.
Bài 2: Để đo chiều rộng của một con sông, một người quan sát đứng ở bờ bên này (tại điểm C) nhìn thấy một cái cây ở bờ bên kia (tại điểm A) dưới một góc $60^\circ$ so với bờ sông. Người đó đi dọc bờ sông một khoảng 40m đến điểm D và nhìn thấy cái cây đó dưới một góc $30^\circ$ so với bờ sông. Tính chiều rộng của con sông (khoảng cách AB).
Giả sử $AC \perp CD$ và $AD \perp CD$ là không đúng, phải là góc nhìn so với bờ sông. Gọi B là chân đường vuông góc từ A xuống bờ sông chứa C,D. Ta có 2 tam giác vuông ABC và ABD. Góc $\widehat{ACB}=60^\circ, \widehat{ADB}=30^\circ$. Cần tính AB.
Gọi chiều rộng con sông là $AB = h$. Điểm B nằm trên đường CD.
1. Trong $\triangle ABC$ vuông tại B:
$BC = \frac{AB}{\tan(\widehat{ACB})} = \frac{h}{\tan 60^\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
2. Trong $\triangle ABD$ vuông tại B:
$BD = \frac{AB}{\tan(\widehat{ADB})} = \frac{h}{\tan 30^\circ} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.
3. Ta có: $CD = BD - BC = 40$ m.
$h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = 40$
$h(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 40 \implies h(\frac{3-1}{\sqrt{3}}) = 40 \implies h \frac{2}{\sqrt{3}} = 40$.
$h = \frac{40\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \approx 34.64$ m.