Khi quay một nửa hình tròn một vòng quanh đường kính cố định của nó, ta được một hình cầu. Bề mặt của hình cầu được gọi là mặt cầu.
Với hình cầu có bán kính R:
Một quả bóng có dạng hình cầu với bán kính $R=10$ cm. Tính diện tích bề mặt và thể tích của quả bóng (lấy $\pi \approx 3.14$).
Giải:
- Diện tích bề mặt: $S = 4\pi R^2 = 4 \cdot 3.14 \cdot 10^2 = 12.56 \cdot 100 = 1256$ cm².
- Thể tích: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 10^3 = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 1000 \approx 4186.7$ cm³.
Thể tích của một hình cầu là $36\pi$ cm³. Tính diện tích mặt cầu tương ứng.
Giải:
Từ công thức thể tích $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, ta có:
$36\pi = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies 36 = \frac{4}{3} R^3$.
$R^3 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27$.
$R = \sqrt[3]{27} = 3$ cm.
Diện tích mặt cầu là: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi$ cm².
Lỗi: Dùng $R^3$ cho diện tích hoặc $R^2$ cho thể tích. Nhầm lẫn giữa hệ số $4$ và $\frac{4}{3}$.
Khắc phục: Ghi nhớ: **Diện tích** luôn có đơn vị là "vuông" (ví dụ cm²), nên công thức phải chứa $R^2$. **Thể tích** luôn có đơn vị là "khối" (ví dụ cm³), nên công thức phải chứa $R^3$.
Lỗi: Thay trực tiếp đường kính $D$ vào công thức tính toán.
Khắc phục: Các công thức của hình cầu đều sử dụng bán kính $R$. Luôn nhớ đổi đường kính về bán kính ($R=D/2$) trước khi tính.
Bài 1: Một mặt cầu có diện tích là $400\pi$ cm². Tính thể tích của hình cầu giới hạn bởi mặt cầu đó.
Từ $S = 4\pi R^2 \implies 400\pi = 4\pi R^2 \implies R^2 = 100 \implies R=10$ cm.
Thể tích $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \frac{4000\pi}{3}$ cm³.
Bài 2: Nếu bán kính của một hình cầu tăng lên gấp 3 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?
Gọi bán kính ban đầu là $R$, thể tích ban đầu là $V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Bán kính mới là $R' = 3R$.
Thể tích mới là $V_2 = \frac{4}{3}\pi (R')^3 = \frac{4}{3}\pi (3R)^3 = \frac{4}{3}\pi (27R^3) = 27 \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3) = 27V_1$.
Vậy thể tích tăng lên 27 lần.
Bài 3: Một hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $2R$. Tính tỉ số thể tích của hình cầu có bán kính $R$ và thể tích của hình trụ nói trên.
Thể tích hình cầu: $V_{\text{cầu}} = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Thể tích hình trụ: $V_{\text{trụ}} = S_{\text{đáy}} \cdot h = (\pi R^2) \cdot (2R) = 2\pi R^3$.
Tỉ số thể tích: $\frac{V_{\text{cầu}}}{V_{\text{trụ}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{2\pi R^3} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$.