Định nghĩa: Hình quạt tròn là một phần của hình tròn được giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.
Trong hình tròn bán kính $R$, với cung tròn có số đo $n^\circ$:
Định nghĩa: Hình vành khuyên là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.
Với hai đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là $R$ (bán kính lớn) và $r$ (bán kính nhỏ), với $R > r$.
Ví dụ 1: Cho một hình tròn tâm O, bán kính 6 cm. Tính độ dài cung và diện tích hình quạt tròn ứng với góc ở tâm là $60^\circ$.
Giải:
Ta có $R = 6$ cm và $n = 60^\circ$.
Độ dài cung tròn là:
$l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 60}{180} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi$ cm.
Diện tích hình quạt tròn là:
$S = \frac{lR}{2} = \frac{2\pi \cdot 6}{2} = 6\pi$ cm².
(Hoặc dùng công thức kia: $S = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = \frac{2160\pi}{360} = 6\pi$ cm²).
Ví dụ 2: Một cái đĩa CD có đường kính ngoài là 12 cm và phần không ghi dữ liệu ở trong có đường kính 4 cm. Tính diện tích bề mặt ghi dữ liệu của đĩa.
Giải:
Bề mặt ghi dữ liệu có dạng hình vành khuyên.
Bán kính lớn: $R = 12 / 2 = 6$ cm.
Bán kính nhỏ: $r = 4 / 2 = 2$ cm.
Diện tích hình vành khuyên là:
$S = \pi(R^2 - r^2) = \pi(6^2 - 2^2) = \pi(36 - 4) = 32\pi$ cm².
Lỗi: Sử dụng trực tiếp đường kính ($D$) thay cho bán kính ($R$) trong công thức.
Khắc phục: Luôn nhớ rằng $R = D/2$. Hãy chắc chắn bạn đã đổi từ đường kính sang bán kính trước khi áp dụng công thức.
Lỗi: Tính diện tích hình vành khuyên bằng công thức sai $\pi(R-r)^2$.
Giải thích: $\pi(R-r)^2 = \pi(R^2 - 2Rr + r^2)$, trong khi công thức đúng là $\pi(R^2 - r^2)$. Hai biểu thức này hoàn toàn khác nhau.
Khắc phục: Ghi nhớ công thức đúng là hiệu hai diện tích: $S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.
Lỗi: Các công thức $l = \frac{\pi R n}{180}$ và $S = \frac{\pi R^2 n}{360}$ yêu cầu số đo góc $n$ phải được tính bằng **độ** ($^\circ$). Nếu đề bài cho góc theo đơn vị radian, bạn sẽ tính sai nếu áp dụng trực tiếp.
Khắc phục: Luôn kiểm tra đơn vị của góc. Nếu là radian, hãy đổi về độ ($1 \text{ rad} = \frac{180}{\pi}^\circ$) hoặc sử dụng các công thức tương ứng cho radian (ví dụ: $S = \frac{1}{2}R^2\theta$ với $\theta$ là góc radian).
Bài 1: Một bánh xe có bán kính 35 cm. Tính độ dài quãng đường bánh xe đi được khi nó quay một góc $72^\circ$.
Quãng đường bánh xe đi được chính là độ dài cung tròn ứng với góc quay.
$l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 35 \cdot 72}{180} = \frac{2520\pi}{180} = 14\pi$ cm.
Bài 2: Một sân khấu hình tròn có bán kính 10m. Người ta trải thảm một hình quạt tròn có diện tích $20\pi$ m². Hỏi góc ở tâm của phần trải thảm là bao nhiêu độ?
Ta có công thức: $S = \frac{\pi R^2 n}{360}$.
$20\pi = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot n}{360} \implies 20 = \frac{100n}{360}$.
$n = \frac{20 \cdot 360}{100} = 72^\circ$.
Vậy góc ở tâm là $72^\circ$.
Bài 1: Bài toán con dê ăn cỏ
Một con dê được buộc bằng một sợi dây dài 10m vào một góc của một nhà kho hình chữ nhật có kích thước 12m x 8m. Tính diện tích cỏ tối đa mà con dê có thể ăn được (phần cỏ nằm bên ngoài nhà kho).
Diện tích cỏ con dê ăn được là tổng diện tích của 3 hình quạt tròn:
1. Một hình quạt lớn có bán kính $R_1 = 10$m (chiều dài sợi dây) và góc $270^\circ$ (vì góc nhà kho là $90^\circ$).
$S_1 = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 270}{360} = 75\pi$ m².
2. Khi dê đi vòng qua cạnh dài 12m, dây bị vướng lại, phần dây còn lại là $10 - 8 = 2$m. Dê có thể ăn thêm một phần tư hình tròn bán kính $R_2 = 2$m.
$S_2 = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 90}{360} = \pi$ m².
3. Khi dê đi vòng qua cạnh ngắn 8m, không có phần dây nào thừa ra vì $10 > 8$. Tuy nhiên, khi dê đi qua góc của cạnh 12m, phần dây còn lại là $10-12$ (không thể xảy ra). Do đó dê chỉ có thể đi vòng qua cạnh ngắn 8m.
Tổng diện tích là: $S = S_1 + S_2 = 75\pi + \pi = 76\pi$ m².
Lưu ý: Lời giải trên đã được đơn giản hóa. Một phân tích đầy đủ sẽ xem xét cả hai góc. Dây sẽ vướng vào cạnh 8m, phần còn lại là 2m, tạo thành hình quạt $S_2$ như trên. Dây cũng sẽ vướng vào cạnh 12m, nhưng do 10m < 12m nên dê không thể đi hết cạnh này. Lời giải trên là chính xác cho trường hợp này.
Bài 2: Cho một hình vành khuyên có diện tích là $56\pi$ cm² và chu vi của đường tròn lớn hơn chu vi của đường tròn nhỏ là $8\pi$ cm. Tính bán kính của hai đường tròn đó.
Ta có hệ phương trình:
1) Diện tích: $\pi(R^2 - r^2) = 56\pi \implies R^2 - r^2 = 56 \implies (R-r)(R+r) = 56$.
2) Hiệu chu vi: $2\pi R - 2\pi r = 8\pi \implies 2(R-r) = 8 \implies R-r = 4$.
Thay (2) vào (1), ta được: $4(R+r) = 56 \implies R+r = 14$.
Bây giờ ta có hệ phương trình đơn giản:
$\begin{cases} R - r = 4 \\ R + r = 14 \end{cases}$
Cộng hai vế ta được $2R = 18 \implies R=9$ cm.
Thay $R=9$ vào một trong hai phương trình, ta được $r=5$ cm.
Vậy bán kính đường tròn lớn là 9 cm, bán kính đường tròn nhỏ là 5 cm.