Hình Trụ 🥫

Định nghĩa & Công thức

1. Định nghĩa

Khi quay một hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định, hình được tạo thành được gọi là hình trụ.

  • Hai đáy: Là hai hình tròn bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
  • Bán kính đáy (r): Là bán kính của hai hình tròn đáy.
  • Chiều cao (h): Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
  • Đường sinh (l): Là các đoạn thẳng song song, bằng nhau và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Trong hình trụ, đường sinh vuông góc với hai đáy và $l=h$.

2. Các công thức quan trọng

  • Diện tích xung quanh ($S_{xq}$): Bằng chu vi đáy nhân với chiều cao. $$ S_{xq} = 2\pi rh $$
  • Diện tích toàn phần ($S_{tp}$): Bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy. $$ S_{tp} = S_{xq} + 2 S_{\text{đáy}} = 2\pi rh + 2\pi r^2 $$
  • Thể tích (V): Bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. $$ V = S_{\text{đáy}} \cdot h = \pi r^2 h $$

3. Sơ đồ tư duy

  • Hình trụ
    • Cấu tạo
      • 2 đáy là hình tròn (bán kính r).
      • Chiều cao h, đường sinh l (h=l).
    • Công thức
      • Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2\pi rh$
      • Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2\pi rh + 2\pi r^2$
      • Thể tích: $V = \pi r^2 h$

Ví dụ Minh họa

Ví dụ 1: Tính toán cơ bản

Một hình trụ có bán kính đáy $r=7$ cm và chiều cao $h=10$ cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ đó (lấy $\pi \approx 22/7$).

Giải:
- Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2\pi rh = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 7 \cdot 10 = 440$ cm².
- Diện tích một đáy: $S_{\text{đáy}} = \pi r^2 = \frac{22}{7} \cdot 7^2 = 154$ cm².
- Diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{xq} + 2S_{\text{đáy}} = 440 + 2 \cdot 154 = 440 + 308 = 748$ cm².
- Thể tích: $V = \pi r^2 h = 154 \cdot 10 = 1540$ cm³.

Ví dụ 2: Bài toán thực tế

Một thùng chứa nước hình trụ có đường kính đáy là 1m và chiều cao 1.5m. Hỏi thùng có thể chứa được tối đa bao nhiêu lít nước? (làm tròn đến hàng đơn vị, lấy $\pi \approx 3.14$, biết 1 m³ = 1000 lít).

Giải: Bán kính đáy: $r = 1 / 2 = 0.5$ m.
Chiều cao: $h=1.5$ m.
Thể tích của thùng: $V = \pi r^2 h = 3.14 \cdot (0.5)^2 \cdot 1.5 = 3.14 \cdot 0.25 \cdot 1.5 = 1.1775$ m³.
Số lít nước tối đa thùng có thể chứa là: $1.1775 \times 1000 = 1177.5$ lít.
Làm tròn đến hàng đơn vị, thùng chứa được khoảng 1178 lít nước.

Sai lầm thường gặp

1. Nhầm lẫn giữa bán kính (r) và đường kính (d)

Lỗi: Dùng trực tiếp đường kính trong công thức tính diện tích hoặc thể tích. Ví dụ, tính $V = \pi d^2 h$.

Khắc phục: Luôn nhớ rằng $r = d/2$. Hãy chắc chắn bạn đã đổi từ đường kính sang bán kính trước khi áp dụng công thức.

2. Quên cộng diện tích hai đáy khi tính diện tích toàn phần

Lỗi: Tính diện tích toàn phần nhưng chỉ lấy diện tích xung quanh, hoặc chỉ cộng diện tích một đáy.

Khắc phục: Nhớ rằng hình trụ có 2 đáy (trên và dưới), do đó công thức là $S_{tp} = S_{xq} + 2 \cdot S_{\text{đáy}}$.

Bài tập

Bài tập Cơ bản

Bài 1: Diện tích xung quanh của một hình trụ là $30\pi$ cm² và bán kính đáy là 3 cm. Tính chiều cao của hình trụ.

Xem đáp án

Ta có $S_{xq} = 2\pi rh$.

$30\pi = 2\pi \cdot 3 \cdot h \implies 30\pi = 6\pi h$.

$h = \frac{30\pi}{6\pi} = 5$ cm.

Bài tập Nâng cao

Bài 2: Một hình chữ nhật ABCD có $AB=a, BC=2a$. Quay hình chữ nhật này quanh cạnh BC, ta được hình trụ (T1). Quay hình chữ nhật quanh cạnh AB, ta được hình trụ (T2). So sánh thể tích của (T1) và (T2).

Xem đáp án

Xét hình trụ (T1): Quay quanh BC.

- Chiều cao $h_1 = BC = 2a$.

- Bán kính đáy $r_1 = AB = a$.

- Thể tích $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi a^2 (2a) = 2\pi a^3$.

Xét hình trụ (T2): Quay quanh AB.

- Chiều cao $h_2 = AB = a$.

- Bán kính đáy $r_2 = BC = 2a$.

- Thể tích $V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (2a)^2 a = \pi (4a^2) a = 4\pi a^3$.

So sánh: $V_2 = 2V_1$. Vậy thể tích hình trụ (T2) gấp đôi thể tích hình trụ (T1).