Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$Trong đó $x$ là ẩn số; $a, b, c$ là các số cho trước gọi là hệ số, và điều kiện bắt buộc là $a \neq 0$.
Để giải phương trình $ax^2 + bx + c = 0$, ta tính biệt thức $\Delta$ (Delta):
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$Ta đặt nhân tử chung: $x(ax+b)=0 \iff x=0$ hoặc $ax+b=0$.
Phương trình luôn có hai nghiệm là $x=0$ và $x = -\frac{b}{a}$.
Ta biến đổi: $ax^2 = -c \iff x^2 = -\frac{c}{a}$.
Nếu $-\frac{c}{a} < 0$, phương trình vô nghiệm.
Nếu $-\frac{c}{a} \ge 0$, phương trình có hai nghiệm đối nhau $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
1. Giải phương trình $2x^2 - 7x + 3 = 0$
Ta có $a=2, b=-7, c=3$.
$\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 > 0$.
$\sqrt{\Delta} = 5$.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$x_1 = \frac{-(-7)+5}{2\cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-7)-5}{2\cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
2. Giải phương trình $5x^2 - 20 = 0$ (dạng khuyết b)
$5x^2 = 20 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$.
Bài toán: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 240 m². Biết rằng chiều dài hơn chiều rộng 8m. Tính chu vi của mảnh vườn.
Giải:
Gọi chiều rộng của mảnh vườn là $x$ (m). Điều kiện $x > 0$.
Chiều dài của mảnh vườn là $x+8$ (m).
Theo đề bài, diện tích là 240 m², ta có phương trình:
$x(x+8) = 240$
$\iff x^2 + 8x - 240 = 0$.
Tính $\Delta' = 4^2 - 1(-240) = 16 + 240 = 256 > 0$. $\sqrt{\Delta'} = 16$.
Phương trình có hai nghiệm:
$x_1 = \frac{-4+16}{1} = 12$ (Nhận).
$x_2 = \frac{-4-16}{1} = -20$ (Loại vì $x>0$).
Vậy chiều rộng là 12m, chiều dài là $12+8=20$m.
Chu vi mảnh vườn là $2(12+20) = 64$ m.
Lỗi: Tính sai dấu của các hệ số $a,b,c$, đặc biệt là khi tính $-b$ và $-4ac$. Ví dụ: với $b=-5$, tính $-b=-5$.
Khắc phục: Viết cẩn thận các hệ số $a, b, c$ ra nháp trước khi thay vào công thức. Luôn nhớ $-b$ là số đối của $b$. Nếu $b=-5$ thì $-b=5$.
Lỗi: Với phương trình $2x^2 - 8x = 0$, chia cả hai vế cho $x$ để được $2x-8=0 \implies x=4$. Cách làm này làm mất nghiệm $x=0$.
Khắc phục: Không bao giờ chia cho biểu thức chứa ẩn mà chưa biết nó khác 0. Luôn dùng phương pháp đặt nhân tử chung: $2x(x-4)=0 \implies x=0$ hoặc $x=4$.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) $x^2 - 10x + 25 = 0$
b) $3x^2 + x + 5 = 0$
a) $\Delta = (-10)^2 - 4(1)(25) = 100 - 100 = 0$. Phương trình có nghiệm kép $x = -\frac{-10}{2(1)} = 5$.
b) $\Delta = 1^2 - 4(3)(5) = 1 - 60 = -59 < 0$. Phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình trùng phương $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.
Đặt $t = x^2$ (điều kiện $t \ge 0$). Phương trình trở thành:
$t^2 - 3t - 4 = 0$.
Đây là phương trình bậc hai theo $t$ có $a-b+c = 1 - (-3) - 4 = 0$, nên có hai nghiệm:
$t_1 = -1$ (Loại vì $t \ge 0$).
$t_2 = -\frac{c}{a} = 4$ (Nhận).
Với $t=4$, ta có $x^2=4 \implies x = \pm 2$.
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm là $x=2$ và $x=-2$.
Bài 3: Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^2 + 4x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là $\Delta > 0$ (hoặc $\Delta' > 0$).
Ta dùng $\Delta'$ cho gọn: $b' = 2$.
$\Delta' = (b')^2 - ac = 2^2 - 1(m-1) = 4 - m + 1 = 5 - m$.
$\Delta' > 0 \iff 5 - m > 0 \iff m < 5$.
Vậy với $m < 5$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.