Nhiều phương trình có vẻ phức tạp nhưng có thể được đưa về dạng phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ thông qua các phép biến đổi đại số như quy đồng, khử mẫu, nhân đa thức, chuyển vế, rút gọn,...
Phương trình có dạng $A(x) \cdot B(x) \cdot C(x) \dots = 0$.
Cách giải: $$ A(x) \cdot B(x) = 0 \iff \begin{cases} A(x) = 0 \\ \text{hoặc } B(x) = 0 \end{cases} $$ Ta giải từng phương trình nhỏ và lấy tất cả các nghiệm.
Dạng cơ bản: $|A(x)| = B(x)$.
Cách giải: $$ |A(x)| = B(x) \iff \begin{cases} B(x) \ge 0 & \text{(Điều kiện)} \\ A(x) = B(x) & \text{hoặc } A(x) = -B(x) \end{cases} $$
Giải phương trình: $ \frac{x+2}{x} = \frac{x+1}{x-2} $
Giải:
ĐKXĐ: $x \neq 0$ và $x \neq 2$.
Quy đồng và khử mẫu, ta có:
$(x+2)(x-2) = x(x+1)$
$\iff x^2 - 4 = x^2 + x$
$\iff -4 = x \iff x = -4$.
Giá trị $x=-4$ thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là $x=-4$.
Giải phương trình: $(4x - 10)(2x + 6) = 0$
Giải:
$(4x - 10)(2x + 6) = 0 \iff 4x-10 = 0$ hoặc $2x+6 = 0$.
- $4x-10 = 0 \iff 4x = 10 \iff x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
- $2x+6 = 0 \iff 2x = -6 \iff x = -3$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{\frac{5}{2}; -3\}$.
Giải phương trình: $|x - 3| = 2x + 1$
Giải:
Điều kiện: $2x+1 \ge 0 \iff 2x \ge -1 \iff x \ge -\frac{1}{2}$.
Với điều kiện trên, phương trình tương đương với:
$x-3 = 2x+1$ hoặc $x-3 = -(2x+1)$.
- $x-3 = 2x+1 \iff -x = 4 \iff x = -4$. (Không thỏa mãn ĐK $x \ge -1/2$, loại)
- $x-3 = -2x-1 \iff 3x = 2 \iff x = \frac{2}{3}$. (Thỏa mãn ĐK $x \ge -1/2$, nhận)
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{2}{3}$.
Lỗi: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, học sinh thường bỏ qua bước tìm ĐKXĐ hoặc tìm xong nhưng giải ra nghiệm lại quên không kiểm tra lại.
Hậu quả: Dẫn đến việc nhận cả các "nghiệm ngoại lai" làm cho mẫu bằng 0.
Khắc phục: Luôn thực hiện 4 bước đầy đủ như đã nêu ở phần lý thuyết. Bước tìm ĐKXĐ là bước đầu tiên và bước đối chiếu nghiệm là bước cuối cùng.
Lỗi: Với phương trình như $\frac{A}{B} + C = D$, học sinh khử mẫu thành $A + C = D$ mà quên không quy đồng hạng tử C.
Khắc phục: Phải quy đồng tất cả các hạng tử ở cả hai vế về cùng một mẫu chung rồi mới tiến hành khử mẫu.
Lỗi: Bỏ quên điều kiện $B(x) \ge 0$ cho dạng $|A(x)| = B(x)$, hoặc chỉ giải một trong hai trường hợp.
Khắc phục: Ghi nhớ kỹ công thức và không bỏ sót bước nào, đặc biệt là bước đặt điều kiện và bước đối chiếu nghiệm với điều kiện.
Bài 1: Giải phương trình $\frac{2x+1}{x-2} = 2$.
ĐKXĐ: $x \neq 2$.
$2x+1 = 2(x-2) \iff 2x+1 = 2x-4 \iff 1 = -4$ (Vô lý).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình $x^2 - 9 = (x+3)(2x-1)$.
$\iff (x-3)(x+3) = (x+3)(2x-1)$
$\iff (x-3)(x+3) - (x+3)(2x-1) = 0$
$\iff (x+3)[(x-3) - (2x-1)] = 0$
$\iff (x+3)(-x-2) = 0$
$\iff x+3=0$ hoặc $-x-2=0$.
$\iff x=-3$ hoặc $x=-2$.
Bài 1: Giải phương trình $\frac{x}{2x-6} - \frac{x}{2x+2} = \frac{2x}{(x+1)(x-3)}$.
Phương trình tương đương: $\frac{x}{2(x-3)} - \frac{x}{2(x+1)} = \frac{2x}{(x+1)(x-3)}$.
ĐKXĐ: $x \neq 3, x \neq -1$.
Mẫu chung: $2(x-3)(x+1)$.
Quy đồng và khử mẫu: $x(x+1) - x(x-3) = 2x \cdot 2$.
$\iff x^2+x - (x^2-3x) = 4x$
$\iff 4x = 4x \iff 0=0$.
Đây là đẳng thức luôn đúng. Vậy nghiệm của phương trình là tất cả các giá trị $x$ thỏa mãn ĐKXĐ.
Kết luận: $S = \mathbb{R} \setminus \{3; -1\}$.
Bài 2: Giải phương trình $|x-1| = |3x-5|$.
Với dạng $|A(x)|=|B(x)|$, ta không cần đặt điều kiện. Phương trình tương đương với:
$x-1 = 3x-5$ hoặc $x-1 = -(3x-5)$.
- $x-1 = 3x-5 \iff -2x = -4 \iff x = 2$.
- $x-1 = -3x+5 \iff 4x = 6 \iff x = \frac{3}{2}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2; \frac{3}{2}\}$.