Xét tam giác ABC vuông tại A, góc nhọn là $\alpha = \widehat{B}$. Ta định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc $\alpha$ như sau:
Mẹo ghi nhớ: Sin đi học (Đối/Huyền), Cos không hư (Kề/Huyền), Tan đoàn kết (Đối/Kề), Cotan kết đoàn (Kề/Đối).
| Góc $\alpha$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin \alpha$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos \alpha$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\tan \alpha$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
| $\cot \alpha$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có $AB = 6$ cm và $AC = 8$ cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.
Giải:
1. Tính cạnh huyền BC: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm.
2. Tính các tỉ số lượng giác của góc B:
$\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
$\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Ví dụ 2: Cho góc nhọn $\alpha$ biết $\cos \alpha = \frac{5}{13}$. Tính $\sin \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha$.
Giải:
1. Tính $\sin \alpha$:
Ta có $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.
Vì $\alpha$ là góc nhọn nên $\sin \alpha > 0$. Do đó $\sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
2. Tính $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$.
$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{5}{12}$.
Lỗi: Nhầm lẫn giữa cạnh đối và cạnh kề của góc đang xét. Cạnh huyền thì dễ nhận ra, nhưng cạnh đối và kề phụ thuộc vào góc bạn chọn.
Khắc phục: Luôn đặt mình vào vị trí của góc nhọn đang xét. Cạnh "đối" là cạnh bạn "nhìn" thẳng tới. Cạnh "kề" là cạnh tạo nên góc đó cùng với cạnh huyền.
Lỗi: Các định nghĩa Sin = Đối/Huyền, ... chỉ đúng cho tam giác vuông.
Khắc phục: Luôn xác định tam giác có vuông hay không. Nếu không, phải kẻ thêm đường cao để tạo ra tam giác vuông rồi mới áp dụng.
Lỗi: Viết $\sin \alpha^2$ thay cho $(\sin \alpha)^2$. Cách viết $\sin \alpha^2$ có thể bị hiểu nhầm là $\sin(\alpha^2)$, tức là sin của góc bình phương.
Khắc phục: Luôn viết là $(\sin \alpha)^2$ hoặc cách viết chuẩn là $\sin^2 \alpha$.
Bài 1: Không dùng máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: $\sin 25^\circ, \cos 35^\circ, \sin 50^\circ, \cos 80^\circ$.
Đổi tất cả về sin: $\cos 35^\circ = \sin(90^\circ - 35^\circ) = \sin 55^\circ$; $\cos 80^\circ = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin 10^\circ$.
Ta cần sắp xếp: $\sin 25^\circ, \sin 55^\circ, \sin 50^\circ, \sin 10^\circ$.
Vì góc $\alpha$ tăng thì $\sin \alpha$ tăng, nên thứ tự tăng dần là: $\sin 10^\circ < \sin 25^\circ < \sin 50^\circ < \sin 55^\circ$.
Vậy: $\cos 80^\circ < \sin 25^\circ < \sin 50^\circ < \cos 35^\circ$.
Bài 2: Rút gọn biểu thức $A = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) - \sin^2 \alpha + 5$.
$A = (1 - \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha + 5$.
Sử dụng hằng đẳng thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
$A = \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 5 = 5$.
Bài 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC (không nhất thiết vuông), ta có: $a = b \cdot \cos C + c \cdot \cos B$.
Kẻ đường cao AH từ A xuống BC. (Giả sử H nằm giữa B và C)
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: $BH = AB \cdot \cos B = c \cdot \cos B$.
Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có: $CH = AC \cdot \cos C = b \cdot \cos C$.
Ta có $a = BC = BH + CH = c \cdot \cos B + b \cdot \cos C$ (điều phải chứng minh).
Trường hợp H nằm ngoài B, C chứng minh tương tự.
Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:
$B = \cos^2 10^\circ + \cos^2 20^\circ + \cos^2 30^\circ + \dots + \cos^2 80^\circ$.
Ta có 8 số hạng trong biểu thức.
$B = (\cos^2 10^\circ + \cos^2 80^\circ) + (\cos^2 20^\circ + \cos^2 70^\circ) + (\cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ) + (\cos^2 40^\circ + \cos^2 50^\circ)$.
Áp dụng tính chất hai góc phụ nhau: $\cos 80^\circ = \sin 10^\circ$, $\cos 70^\circ = \sin 20^\circ$, ...
$B = (\cos^2 10^\circ + \sin^2 10^\circ) + (\cos^2 20^\circ + \sin^2 20^\circ) + (\cos^2 30^\circ + \sin^2 30^\circ) + (\cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ)$.
Sử dụng hằng đẳng thức $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$B = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.