Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung duy nhất với đường tròn đó. Điểm chung đó được gọi là tiếp điểm.
Nói cách khác, tiếp tuyến là đường thẳng "chạm" vào đường tròn tại một điểm duy nhất.
Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn $(O; R)$ nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm, thì:
Ví dụ 1: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn $(O; R)$. Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Biết $OM = 13$ cm và $R=5$ cm. Tính độ dài MA.
Giải:
Theo tính chất của tiếp tuyến, MA vuông góc với bán kính OA tại A. Do đó, tam giác OAM là tam giác vuông tại A.
Áp dụng định lí Py-ta-go cho $\triangle OAM$ vuông tại A, ta có:
$$ OM^2 = OA^2 + MA^2 $$
$$ 13^2 = 5^2 + MA^2 $$
$$ 169 = 25 + MA^2 $$
$$ MA^2 = 169 - 25 = 144 $$
$$ MA = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} $$
Ví dụ 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Biết $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Giải:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $AB = AC$. Do đó, $\triangle ABC$ là tam giác cân tại A.
Một tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$ là tam giác đều.
Vì $\triangle ABC$ cân tại A và có $\widehat{BAC} = 60^\circ$, suy ra $\triangle ABC$ là tam giác đều.
Lỗi: Khi thấy một đường thẳng đi qua một điểm trên đường tròn, vội vàng kết luận đó là tiếp tuyến mà không chứng minh nó vuông góc với bán kính tại điểm đó.
Khắc phục: Để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến, phải chỉ ra nó thỏa mãn một trong hai dấu hiệu nhận biết (vuông góc với bán kính hoặc khoảng cách từ tâm bằng R).
Lỗi: Khi có tiếp tuyến MA, áp dụng Py-ta-go cho tam giác OMA nhưng lại coi góc ở M hoặc góc ở O là góc vuông.
Khắc phục: Luôn nhớ rằng tiếp tuyến vuông góc với bán kính **tại tiếp điểm**. Do đó, góc vuông luôn là góc tại tiếp điểm (ví dụ: $\widehat{OAM} = 90^\circ$).
Lỗi: Nhầm lẫn giữa tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến và góc tạo bởi hai bán kính.
Khắc phục: Vẽ hình rõ ràng và ghi nhớ: Tia nối điểm ngoài và tâm (OM) là tia phân giác của cả hai góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AOB}$.
Bài 1: Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm M cách O một khoảng 2R. Vẽ tiếp tuyến MT (T là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn MT theo R.
Tam giác OTM vuông tại T. Áp dụng định lí Py-ta-go:
$OM^2 = OT^2 + MT^2$
$(2R)^2 = R^2 + MT^2$
$4R^2 = R^2 + MT^2 \implies MT^2 = 3R^2 \implies MT = R\sqrt{3}$.
Bài 2: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Biết $\widehat{AOB} = 120^\circ$. Tính số đo góc $\widehat{AMB}$.
Xét tứ giác AOBM, ta có tổng các góc bằng 360°.
Ta biết $\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90^\circ$ (tính chất tiếp tuyến).
Do đó, $\widehat{AMB} + \widehat{OAM} + \widehat{AOB} + \widehat{OBM} = 360^\circ$.
$\widehat{AMB} + 90^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.
$\widehat{AMB} + 300^\circ = 360^\circ \implies \widehat{AMB} = 60^\circ$.
Bài 1: Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A $\implies AO$ là đường trung trực của BC $\implies AO \perp BC$ (1).
Xét tam giác BCD nội tiếp đường tròn (O) có cạnh CD là đường kính.
Suy ra tam giác BCD vuông tại B $\implies BC \perp BD$ (2).
Từ (1) và (2), theo quan hệ từ vuông góc đến song song, ta có $BD \parallel AO$.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By về cùng một phía với nửa đường tròn. Từ một điểm M trên nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng $AC + BD = CD$.
Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
Tại điểm C: $CA = CM$.
Tại điểm D: $DB = DM$.
Ta có: $CD = CM + MD$.
Thay các kết quả trên vào, ta được: $CD = AC + BD$ (điều phải chứng minh).