Tính Chất Của Phép Khai Phương 🌿

Định nghĩa & Tính chất

1. Căn bậc hai số học và Hằng đẳng thức

Với số không âm $A$, căn bậc hai số học của $A$, ký hiệu là $\sqrt{A}$, là một số $x$ không âm sao cho $x^2 = A$.

Hằng đẳng thức quan trọng nhất cần nhớ:

$$ \sqrt{A^2} = |A| = \begin{cases} A & \text{khi } A \ge 0 \\ -A & \text{khi } A < 0 \end{cases} $$

2. Các quy tắc biến đổi căn thức

  • Khai phương một tích: Với $A \ge 0$ và $B \ge 0$, ta có: $$ \sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B} $$
  • Khai phương một thương: Với $A \ge 0$ và $B > 0$, ta có: $$ \sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} $$
  • Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với $B \ge 0$, ta có: $$ \sqrt{A^2 B} = |A|\sqrt{B} $$
  • Đưa thừa số vào trong dấu căn:
    • Với $A \ge 0, B \ge 0$: $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2 B}$
    • Với $A < 0, B \ge 0$: $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 B}$
  • Trục căn thức ở mẫu:
    • $\frac{C}{\sqrt{B}} = \frac{C\sqrt{B}}{B}$ (với $B > 0$)
    • $\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A-B}$ (với $A, B \ge 0, A \neq B$)

3. Sơ đồ tư duy

  • Phép Khai Phương
    • Hằng đẳng thức
      • $\sqrt{A^2} = |A|$
    • Liên hệ phép nhân/chia
      • $\sqrt{AB} = \sqrt{A}\sqrt{B}$
      • $\sqrt{A/B} = \sqrt{A}/\sqrt{B}$
    • Biến đổi
      • Đưa thừa số ra ngoài: $\sqrt{A^2B} = |A|\sqrt{B}$
      • Đưa thừa số vào trong: $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2B}$ (khi $A \ge 0$)
    • Trục căn thức
      • Là làm mất căn ở mẫu.
      • Nhân với biểu thức liên hợp.

Ví dụ Minh họa

Ví dụ 1: Tính $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$.

Giải: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức $\sqrt{50} - \sqrt{18}$.

Giải: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.
Vậy, $\sqrt{50} - \sqrt{18} = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (5-3)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ví dụ 3: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\frac{4}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$.

Giải: Biểu thức liên hợp của $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ là $\sqrt{5} + \sqrt{3}$.
$\frac{4}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = 2(\sqrt{5} + \sqrt{3})$.

Sai lầm thường gặp

1. Bỏ quên dấu giá trị tuyệt đối

Lỗi: Viết $\sqrt{A^2} = A$ một cách máy móc mà không xét dấu của A.

Ví dụ sai: $\sqrt{(-5)^2} = -5$.

Khắc phục: Luôn nhớ $\sqrt{A^2} = |A|$. Do đó, $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.

2. Khai phương một tổng hoặc hiệu

Lỗi: Áp dụng sai quy tắc, viết $\sqrt{A+B} = \sqrt{A} + \sqrt{B}$ hoặc $\sqrt{A-B} = \sqrt{A} - \sqrt{B}$.

Ví dụ sai: $\sqrt{16+9} = \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4+3=7$. (Kết quả đúng là $\sqrt{25}=5$).

Khắc phục: Ghi nhớ các quy tắc khai phương chỉ áp dụng cho phép **nhân** và phép **chia**.

3. Đưa thừa số âm vào trong căn sai

Lỗi: Khi đưa thừa số âm vào trong căn, quên đặt dấu trừ ở bên ngoài.

Ví dụ sai: $-3\sqrt{2} = \sqrt{(-3)^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Khắc phục: Phải viết là $-3\sqrt{2} = -\sqrt{3^2 \cdot 2} = -\sqrt{18}$.

Bài tập Cơ bản

Bài 1: Rút gọn biểu thức $A = 3\sqrt{8} - \sqrt{50} - \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$.

Xem đáp án

$A = 3\sqrt{4 \cdot 2} - \sqrt{25 \cdot 2} - |\sqrt{2}-1|$.

$A = 3 \cdot 2\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)$ (Vì $\sqrt{2}-1 > 0$).

$A = 6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = (6-5-1)\sqrt{2} + 1 = 1$.

Bài 2: So sánh $2\sqrt{6}$ và $3\sqrt{3}$.

Xem đáp án

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

$2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$.

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Vì $24 < 27$ nên $\sqrt{24} < \sqrt{27}$. Vậy $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}$.

Bài tập Nâng cao

Bài 1: Rút gọn biểu thức (trục căn thức lồng nhau) $B = \sqrt{4 + \sqrt{12}}$.

Xem đáp án

Ta tìm cách biến đổi biểu thức trong căn thành dạng $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$B = \sqrt{4 + \sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$.

Ta cần tìm hai số có tổng là 4 và tích là 3. Dễ thấy đó là 3 và 1.

$B = \sqrt{3 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\cdot 1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}$.

$B = |\sqrt{3}+1| = \sqrt{3}+1$.

Bài 2: Giải phương trình: $\sqrt{4x+20} - 3\sqrt{x+5} + \frac{4}{3}\sqrt{9x+45} = 6$.

Xem đáp án

Điều kiện: $x+5 \ge 0 \iff x \ge -5$.

Phương trình tương đương:

$\sqrt{4(x+5)} - 3\sqrt{x+5} + \frac{4}{3}\sqrt{9(x+5)} = 6$.

$2\sqrt{x+5} - 3\sqrt{x+5} + \frac{4}{3} \cdot 3\sqrt{x+5} = 6$.

$2\sqrt{x+5} - 3\sqrt{x+5} + 4\sqrt{x+5} = 6$.

$(2-3+4)\sqrt{x+5} = 6 \implies 3\sqrt{x+5} = 6$.

$\sqrt{x+5} = 2 \implies x+5 = 4 \implies x = -1$.

Giá trị $x=-1$ thỏa mãn điều kiện $x \ge -5$. Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1$.