Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay còn gọi là tứ giác nội tiếp).
Trong một tứ giác nội tiếp:
Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp thì $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$ và $\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$.
Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các dấu hiệu sau:
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có $\widehat{B} = 110^\circ$. Tính số đo góc D.
Giải:
Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$.
Ta có: $\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$
$\implies 110^\circ + \widehat{D} = 180^\circ$
$\implies \widehat{D} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
Giải:
Xét tứ giác AEHF:
- Vì BE là đường cao nên $BE \perp AC \implies \widehat{AEH} = 90^\circ$.
- Vì CF là đường cao nên $CF \perp AB \implies \widehat{AFH} = 90^\circ$.
Tổng hai góc đối: $\widehat{AEH} + \widehat{AFH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Tứ giác AEHF có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp.
Lỗi: Áp dụng tính chất tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ cho một tứ giác khi chưa chứng minh nó nội tiếp.
Khắc phục: Luôn nhớ rằng tứ giác nội tiếp là một dạng đặc biệt. Phải có đủ điều kiện (dựa vào dấu hiệu nhận biết) thì mới được kết luận và áp dụng tính chất của nó.
Lỗi: "Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$" là một suy luận đúng (dùng tính chất). Tuy nhiên, "Vì tổng hai góc đối của ABCD là $180^\circ$ nên nó có tính chất là tứ giác nội tiếp" là một cách diễn đạt sai.
Khắc phục: Cần diễn đạt rõ ràng: "Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$. Theo dấu hiệu nhận biết, suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp."
Bài 1: Hình thang cân có phải là một tứ giác nội tiếp không? Tại sao?
Có. Mọi hình thang cân đều là tứ giác nội tiếp.
Giải thích: Trong hình thang cân ABCD (đáy AB, CD), ta có $\widehat{D} = \widehat{C}$ và $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía). Suy ra $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$. Vì có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ nên hình thang cân nội tiếp được đường tròn.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D, vẽ đường tròn đường kính CD. Đường tròn này cắt BC tại E. Chứng minh rằng tứ giác ABED là một tứ giác nội tiếp.
Xét đường tròn đường kính CD.
Điểm E nằm trên đường tròn này nên góc $\widehat{CED}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\implies \widehat{CED} = 90^\circ$.
Ta có $\widehat{CED} + \widehat{AEB} = 180^\circ$ (hai góc kề bù). Suy ra $\widehat{AEB} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Xét tứ giác ABED, ta có:
Góc $\widehat{DAB} = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A).
Góc $\widehat{DEB} = \widehat{DEC} = 90^\circ$. À không, $\widehat{DEB}$ và $\widehat{AEB}$ là một.
Ta có $\widehat{DAB} = 90^\circ$ và $\widehat{DEB} = 90^\circ$. Hai đỉnh A và E kề nhau cùng nhìn cạnh BD dưới một góc vuông.
Vậy tứ giác ABED nội tiếp được đường tròn (theo dấu hiệu hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh...).
Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết $\widehat{DBC} = 30^\circ$ và $\widehat{CAB} = 40^\circ$. Tính số đo của góc $\widehat{BCD}$.
Vì ABCD là tứ giác nội tiếp, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
1. Góc $\widehat{DAC}$ và $\widehat{DBC}$ cùng chắn cung DC. Suy ra $\widehat{DAC} = \widehat{DBC} = 30^\circ$.
2. Góc $\widehat{CDB}$ và $\widehat{CAB}$ cùng chắn cung CB. Suy ra $\widehat{CDB} = \widehat{CAB} = 40^\circ$.
Xét $\triangle BCD$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:
$\widehat{BCD} + \widehat{CBD} + \widehat{CDB} = 180^\circ$
$\widehat{BCD} + 30^\circ + 40^\circ = 180^\circ$
$\widehat{BCD} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.