Giả sử một phép thử có không gian mẫu $\Omega$ gồm hữu hạn các kết quả đồng khả năng. Xác suất của biến cố A, ký hiệu là $P(A)$, được tính bằng công thức:
$$ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} $$Trong đó:
Phép thử: Gieo một con súc sắc cân đối, 6 mặt.
Biến cố A: "Mặt xuất hiện có số chấm là một số chẵn".
Giải:
Không gian mẫu: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(\Omega)=6$.
Các kết quả thuận lợi cho A: $A = \{2, 4, 6\} \implies n(A)=3$.
Xác suất của A: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Phép thử: Một hộp có 10 thẻ giống hệt nhau được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên một thẻ.
Biến cố B: "Thẻ rút được là một số nguyên tố".
Giải:
Không gian mẫu: $\Omega = \{1, 2, \dots, 10\} \implies n(\Omega)=10$.
Các số nguyên tố từ 1 đến 10 là $\{2, 3, 5, 7\}$.
Các kết quả thuận lợi cho B: $B = \{2, 3, 5, 7\} \implies n(B)=4$.
Xác suất của B: $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Lỗi: Liệt kê thiếu hoặc trùng lặp các kết quả, đặc biệt trong các bài toán phức tạp.
Khắc phục: Sử dụng các phương pháp đếm có hệ thống như sơ đồ cây, lập bảng, hoặc các quy tắc tổ hợp (hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) để đảm bảo tính chính xác.
Lỗi: Áp dụng công thức $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ cho cả những biến cố có thể cùng xảy ra.
Ví dụ sai: Rút 1 lá bài. A: "Lá Át", B: "Lá Cơ". Tính P(A hoặc B) = P(A)+P(B) = 4/52 + 13/52 = 17/52. (Sai vì đã đếm lá Át Cơ 2 lần).
Khắc phục: Luôn kiểm tra xem hai biến cố có xung khắc không. Nếu không, phải dùng công thức đầy đủ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Bài 1: Tung hai đồng xu cân đối. Tính xác suất để được hai mặt giống nhau.
Không gian mẫu: $\Omega = \{SS, SN, NS, NN\} \implies n(\Omega)=4$.
Gọi A là biến cố "hai mặt giống nhau". $A = \{SS, NN\} \implies n(A)=2$.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Bài 2: Một túi chứa 5 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để lấy được bi xanh.
Tổng số bi: $5+7=12 \implies n(\Omega)=12$.
Số bi xanh (kết quả thuận lợi): $n(A) = 5$.
$P(A) = \frac{5}{12}$.
Bài 3: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện lớn hơn 10.
Không gian mẫu có $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$ phần tử.
Gọi A là biến cố "tổng số chấm lớn hơn 10". Điều này có nghĩa tổng có thể là 11 hoặc 12.
Các cặp có tổng 11: (5,6), (6,5).
Các cặp có tổng 12: (6,6).
Vậy $A = \{(5,6), (6,5), (6,6)\} \implies n(A)=3$.
$P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
Bài 4: Một lớp học có 20 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi dự đại hội. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Đây là bài toán sử dụng biến cố đối sẽ nhanh hơn.
Tổng số học sinh là 35. Số cách chọn 4 học sinh bất kỳ là $n(\Omega) = C_{35}^4 = 52360$.
Gọi A là biến cố "4 học sinh được chọn có cả nam và nữ".
Biến cố đối $\bar{A}$ là "4 học sinh được chọn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ".
- Trường hợp 1: Chọn 4 nam từ 20 nam: $C_{20}^4 = 4845$ cách.
- Trường hợp 2: Chọn 4 nữ từ 15 nữ: $C_{15}^4 = 1365$ cách.
Số phần tử của $\bar{A}$ là $n(\bar{A}) = 4845 + 1365 = 6210$.
Xác suất của $\bar{A}$ là $P(\bar{A}) = \frac{6210}{52360} = \frac{621}{5236}$.
Xác suất của A là $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{621}{5236} = \frac{4615}{5236}$.