💡 Lời Mở Đầu
Cuốn sổ tay này là một tài liệu tham khảo nhanh, tổng hợp các định nghĩa, công thức và thuộc tính quan trọng của các phân phối xác suất rời rạc thường gặp. Nó được thiết kế để cung cấp một cái nhìn tổng quan súc tích về các hiện tượng xác suất phổ biến.
🪙 1. Biến Ngẫu Nhiên Bernoulli
Mô tả một phép thử chỉ có hai kết quả: 0 (thất bại) và 1 (thành công).
| Thuộc tính | Công thức / Giá trị |
|---|---|
| Tham số | $p$ (xác suất thành công) |
| Các giá trị có thể | 0 và 1 |
| Xác suất | $P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p$ |
| Giá trị kỳ vọng $E(X)$ | $p$ |
| Phương sai $Var(X)$ | $p(1-p)$ |
🎯 2. Phân Phối Nhị Thức
Mô hình hóa tổng số lần thành công $X$ trong $n$ phép thử Bernoulli độc lập và cố định.
| Thuộc tính | Công thức / Giá trị |
|---|---|
| Ký hiệu | $X \sim B(n, p)$ |
| PMF | $$P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$ |
| Giá trị của $x$ | $0, 1, \dots, n$ |
| Kỳ vọng $E(X)$ | $np$ |
| Phương sai $Var(X)$ | $np(1-p)$ |
⏱️ 3. Phân Phối Hình Học
Số lần thử $X$ cần thực hiện cho đến khi đạt được thành công đầu tiên.
| Thuộc tính | Công thức / Giá trị |
|---|---|
| PMF | $$P(X = x) = (1-p)^{x-1} p$$ |
| Giá trị của $x$ | $1, 2, 3, \dots$ |
| Kỳ vọng $E(X)$ | $1/p$ |
| Phương sai $Var(X)$ | $(1-p)/p^2$ |
🔁 4. Phân Phối Nhị Thức Âm
Tổng số lần thử $X$ cần thiết để đạt được $r$ lần thành công.
| Thuộc tính | Công thức / Giá trị |
|---|---|
| PMF | $$P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} (1-p)^{x-r} p^r$$ |
| Giá trị của $x$ | $r, r+1, \dots$ |
| Kỳ vọng $E(X)$ | $r/p$ |
| Phương sai $Var(X)$ | $r(1-p)/p^2$ |
🧺 5. Phân Phối Siêu Bội
Xác suất có $x$ thành công trong $n$ lần rút mẫu không hoàn lại từ tổng thể $N$ có $r$ thành công.
| Thuộc tính | Công thức / Giá trị |
|---|---|
| PMF | $$P(X = x) = \frac{\binom{r}{x} \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$ |
| Kỳ vọng $E(X)$ | $nr/N$ |
| Phương sai $Var(X)$ | $$\frac{N-n}{N-1} \cdot n \cdot \frac{r}{N} \cdot \left( 1 - \frac{r}{N} \right)$$ |
⚡ 6. Phân Phối Poisson
Số lần sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian/không gian nhất định với tốc độ trung bình $\lambda$.
| Thuộc tính | Công thức / Giá trị |
|---|---|
| Ký hiệu | $X \sim P(\lambda)$ |
| PMF | $$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$ |
| Kỳ vọng $E(X)$ | $\lambda$ |
| Phương sai $Var(X)$ | $\lambda$ |
🎲 7. Phân Phối Đa Thức
Tổng quát hóa Nhị thức cho các phép thử có nhiều hơn 2 kết quả.
| Thuộc tính | Công thức / Giá trị |
|---|---|
| Tham số | $n, p_1, \dots, p_k$ |
| PMF | $$P(X_1=x_1, \dots) = \frac{n!}{x_1! \dots x_k!} p_1^{x_1} \dots p_k^{x_k}$$ |
| Kỳ vọng $E(X_i)$ | $np_i$ |
| Phương sai $Var(X_i)$ | $np_i(1-p_i)$ |
🔗 TỔNG KẾT
Mối liên hệ chính:
- Bernoulli: Đơn vị cơ bản.
- Nhị Thức: Đếm số thành công trong số lần thử cố định.
- Hình Học & Nhị Thức Âm: Đếm số lần thử để đạt số thành công cố định.
- Siêu Bội: Lấy mẫu không hoàn lại.
- Poisson: Sự kiện trong khoảng liên tục.
- Đa Thức: Nhiều hơn 2 kết quả khả dĩ.