Một ước tính điểm (\(\bar{x}\)) là "phỏng đoán tốt nhất" của chúng ta, nhưng nó không định lượng được sự không chắc chắn. Khoảng tin cậy giải quyết vấn đề này bằng cách cung cấp một phạm vi các giá trị "hợp lý" cho \(\mu\).
2.1 Xây dựng Khoảng tin cậy t Hai phía
Công thức xây dựng khoảng tin cậy khi phương sai tổng thể chưa biết:
\[ \mu \in \left[ \bar{x} - t_{(\alpha/2, n-1)} \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right) , \bar{x} + t_{(\alpha/2, n-1)} \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \right] \]
Hãy phân tích các thành phần của công thức này:
| Thành phần |
Ký hiệu |
Ý nghĩa |
| Trung bình mẫu |
\(\bar{x}\) |
Ước tính điểm tốt nhất cho \(\mu\), là tâm của khoảng. |
| Sai số chuẩn |
\(s / \sqrt{n}\) |
Ước tính độ lệch chuẩn của phân phối các trung bình mẫu. |
| Giá trị tới hạn t |
\(t_{(\alpha/2, n-1)}\) |
Giá trị từ phân phối t với \(n-1\) bậc tự do, xác định độ rộng dựa trên mức tin cậy. |
Cách diễn giải một Khoảng tin cậy:
"Chúng ta tin cậy (1-\(\alpha\))% rằng trung bình thực của tổng thể (\(\mu\)) nằm trong khoảng từ [giới hạn dưới] đến [giới hạn trên]."
2.2 Ví dụ Thực hành: Hàm lượng Sữa trong Hộp
Bối cảnh
Một mẫu ngẫu nhiên gồm 50 hộp được lấy để đo lường hàm lượng sữa.
- Kích thước mẫu: \(n = 50\) (Bậc tự do = 49)
- Trung bình mẫu: \(\bar{x} = 2.0727\) lít
- Độ lệch chuẩn mẫu: \(s = 0.0711\) lít
So sánh các Khoảng tin cậy:
- Khoảng tin cậy 95% (\(t=2.0096\)): \(2.0727 \pm 0.0202\) \(\rightarrow\) (2.0525, 2.0929) - Độ dài 0.0404
- Khoảng tin cậy 99% (\(t=2.680\)): \(2.0727 \pm 0.0270\) \(\rightarrow\) (2.0457, 2.0996) - Độ dài 0.0539
- Khoảng tin cậy 90% (\(t=1.6766\)): \(2.0727 \pm 0.0169\) \(\rightarrow\) (2.0558, 2.0895) - Độ dài 0.0337
Kết luận quan trọng: Mức tin cậy cao hơn đòi hỏi một khoảng tin cậy dài hơn (kém chính xác hơn).
2.3 Các Yếu tố ảnh hưởng đến Độ chính xác
Độ dài của khoảng tin cậy (\(L\)) là thước đo độ chính xác. Một khoảng hẹp hơn \(\rightarrow\) chính xác hơn.
- Ảnh hưởng của Kích thước Mẫu (\(n\)): Độ dài tỷ lệ nghịch với \(\sqrt{n}\) (\(L \propto 1/\sqrt{n}\)). Để tăng gấp đôi độ chính xác (giảm một nửa độ dài L), bạn cần tăng kích thước mẫu lên bốn lần.
- Ảnh hưởng của Mức tin cậy (\(1-\alpha\)): Mức tin cậy cao hơn \(\rightarrow\) giá trị \(t\) lớn hơn \(\rightarrow\) khoảng dài hơn.
2.4 Xác định Kích thước Mẫu Cần thiết
Chúng ta có thể ước tính \(n\) cần thiết để đạt được độ dài khoảng tin cậy mong muốn \(L_0\):
\[ n \geq 4 \left( \frac{t_{(\alpha/2, n-1)} \cdot s}{L_0} \right)^2 \]
Ví dụ: Thuộc tính Thấm nước của Vải
- Dữ liệu ban đầu: \(n = 15\), \(s = 4.94\%\).
- Yêu cầu: KTC 99% với độ dài không quá \(L_0 = 5\%\). (Sử dụng \(t(0.005, 14) = 2.9769\))
- Tính toán: \(n \geq 4 \cdot (2.9769 \cdot 4.94 / 5)^2 \approx 34.6\)
- Kết luận: Cần tổng kích thước mẫu là 35. Phải thu thập thêm \(35 - 15 = 20\) quan sát.