XÁC SUẤT RỜI RẠC
Tóm tắt trực quan các công thức quan trọng
🪙
Bernoulli
Phép thử cơ bản nhất: Chỉ có 2 kết quả (Thành công / Thất bại).
Tham số
$p$
Kỳ Vọng $E(X)$
$p$
Phương Sai $Var(X)$
$p(1-p)$
Xác suất $P(X=k)$
$$P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p$$
🎯
Nhị Thức (Binomial)
Đếm số lần thành công trong $n$ lần thử độc lập.
Ký hiệu
$X \sim B(n, p)$
Kỳ Vọng
$np$
Phương Sai
$np(1-p)$
Công thức PMF
$$P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$
💡 $x$ chạy từ $0$ đến $n$.
⏳
Hình Học (Geometric)
Số lần thử cần thiết để có thành công đầu tiên.
Biến $X$
$1, 2, 3...$
Kỳ Vọng
$1/p$
Phương Sai
$\frac{1-p}{p^2}$
$$P(X = x) = (1-p)^{x-1} p$$
🔄
Nhị Thức Âm
Số lần thử để đạt được $r$ lần thành công.
Biến $X$
$r, r+1...$
Kỳ Vọng
$r/p$
Phương Sai
$\frac{r(1-p)}{p^2}$
$$P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} (1-p)^{x-r} p^r$$
👜
Siêu Bội (Hypergeometric)
Lấy mẫu không hoàn lại từ tập hợp hữu hạn.
📝 $N$: Tổng thể | $r$: Số thành công trong $N$ | $n$: Cỡ mẫu rút ra.
Kỳ Vọng
$n \frac{r}{N}$
Phương Sai (Phức tạp hơn do không hoàn lại)
$n \frac{r}{N} (1-\frac{r}{N}) \frac{N-n}{N-1}$
$$P(X = x) = \frac{\binom{r}{x} \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
⚡
Poisson
Số sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian/không gian cố định.
Ký hiệu
$X \sim P(\lambda)$
Kỳ Vọng
$\lambda$
Phương Sai
$\lambda$
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$
💡 Đặc biệt: Kỳ vọng bằng Phương sai.
🎲
Đa Thức (Multinomial)
Tổng quát của Nhị thức khi có nhiều hơn 2 kết quả (kết quả 1, 2... k).
Kỳ Vọng $X_i$
$np_i$
Phương Sai $X_i$
$np_i(1-p_i)$
$$P(X_1=x_1, \dots) = \frac{n!}{x_1! \dots x_k!} p_1^{x_1} \dots p_k^{x_k}$$