Một khối hộp chữ nhật có thể tích $V = 6x^2y$. Nếu một mặt đáy có diện tích là $S = 2xy$, để tìm chiều cao $h$ của khối hộp này, ta cần thực hiện phép tính $h = 6x^2y : 2xy$. Kết quả nhận được là gì?
Khi chia lũy thừa cùng biến: $y^1 : y^1 = y^{1-1} = y^0 = 1$. Thương số sẽ không còn biến $y$ nữa!
Chia hệ số cho hệ số: ta lấy $6 : 2 = ?$. Kết quả là 3 chứ không phải 4!
Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: $x^2 : x^1 = x^{2-1} = x^1 = x$.
Muốn chia đơn thức cho đơn thức: Chia hệ số cho hệ số, chia lũy thừa từng biến cho nhau, rồi nhân các kết quả lại.
Xét phép chia đơn thức $6xy$ cho đơn thức $2yz$. Phép chia này có phải là một phép chia hết trong tập đa thức không? Vì sao?
Ở số bị chia $6xy$ không hề có mặt biến $z$. Nếu chia cho $z$, ta sẽ nhận được $\frac{1}{z}$ (số mũ âm). Biểu thức đó có phải là đơn thức không?
Biến $z$ nằm ở số chia (dưới mẫu số), ta không thể nhân $z$ lên thành $3xz$ được!
Cả hai đơn thức đều có bậc là $1 + 1 = 2$. Nguyên nhân không chia hết nằm ở sự xuất hiện của biến mới ở số chia.
Để đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$, điều kiện tiên quyết là: Mọi biến của $B$ đều phải có mặt trong $A$. Nếu $B$ có biến lạ mà $A$ không có thì chắc chắn không chia hết!
Cho đơn thức $A = 5x^2yz^3$ và đơn thức $B = x^2y^2z^2$. Phép chia $A : B$ có phải là phép chia hết không? Vì sao?
Cùng có biến $y$, nhưng $y^1 : y^2 = \frac{1}{y}$. Kết quả này không phải là đơn thức!
Phép chia hệ số $5 : 1 = 5$ hoàn toàn chia hết trên tập số thực! Hãy chú ý vào số mũ của biến.
Tổng bậc bằng nhau không đảm bảo phép chia hết. Điều kiện bắt buộc phải thỏa mãn trên từng biến độc lập.
Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ ($B \ne 0$) khi mỗi biến của $B$ đều là biến của $A$ với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong $A$.
Xác định chính xác hệ số và bậc của đơn thức sau: $$M = -2^3 x^2 y z^3$$
Số $-2^3 = -8$ là một hằng số xác định. Ta không được tính số mũ 3 của số $-2$ vào bậc!
Bậc của đơn thức chỉ là tổng số mũ của các biến ($x, y, z$). Số mũ 3 của cơ số số học không được tính vào bậc của đơn thức.
Cần lưu ý: $-2^3 = -8$ mang dấu âm. Đồng thời biến $y$ có số mũ là $1$. Hãy cộng lại: $2 + 1 + 3 = ?$.
Bậc của đơn thức chỉ tính tổng số mũ của các biến số, tuyệt đối không tính số mũ của các hằng số trong phần hệ số!
Khi thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức: $$(8x^3y^2 - 6x^2y^3) : (-2xy)$$ Kết quả thu gọn chính xác là:
Số chia là $-2xy$ (mang dấu âm). Khi chia số dương cho số âm: $(+8) : (-2) = -4$. Dấu của hạng tử đầu phải là dấu trừ!
Ở hạng tử thứ nhất: $x^3y^2 : xy = x^2y$, không phải là $xy^2$. Hãy cẩn thận khi ghép số mũ của từng biến!
Ta thực hiện phép chia hệ số: $8 : (-2) = -4$ và $(-6) : (-2) = +3$, không lấy $8 - (-2)$!
Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả lại. Luôn cẩn trọng với quy tắc dấu: $(+) : (-) \rightarrow (-)$ và $(-) : (-) \rightarrow (+)$.
Thực hiện phép tính chia sau: $$(7y^5z^2 - 14y^4z^3 + 2,1y^3z^4) : (-7y^3z^2)$$ Thương của phép chia là:
Hạng tử thứ hai là $-14y^4z^3$ chia cho $-7y^3z^2$. Ta có $(-14) : (-7) = +2$. Dấu ở giữa phải mang dấu dương $(+)$!
Hạng tử đầu tiên $7 : (-7) = -1$. Dấu phải là dấu âm $(-y^2)$ chứ không thể là dương.
Hãy tính thật cẩn thận: $2,1 : (-7) = -0,3$, không phải là $-3$!
Khi gặp đa thức có nhiều hạng tử chứa dấu âm và số thập phân, hãy chia nháp từng hạng tử riêng biệt kèm dấu của nó để không bị nhầm lẫn.
Biết rằng $D$ là một đơn thức sao cho $-2x^3y^4 : D = xy^2$. Khi đó, kết quả của phép chia $(10x^5y^2 - 6x^3y^4 + 8x^2y^5) : D$ là:
Vì $-2x^3y^4 : D = xy^2$ nên $D = -2x^3y^4 : (xy^2) = -2x^2y^2$. Đơn thức $D$ mang dấu âm $(-2)$, do đó khi chia hạng tử dương cho $D$ sẽ đổi dấu thành âm!
Hạng tử giữa là $-6x^3y^4$ chia cho $D = -2x^2y^2$. Ta có $(-6) : (-2) = +3$. Hãy kiểm tra lại dấu!
Ở hạng tử đầu tiên: $x^5 : x^2 = x^3$, không phải là $x^2$.
Trong bài toán tìm đơn thức chưa biết: Số chia = Số bị chia : Thương. Sau khi tìm được số chia $D$, ta thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức như bình thường.
Cho đa thức $A = 2x^2y^2 - 5xy^3$ và đơn thức $B = 3x^m y^2$ (với $m \in \mathbb{N}^*$). Tìm số nguyên dương $m$ để đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$.
Nếu $m = 2$, hạng tử thứ nhất $2x^2y^2$ chia hết, nhưng hạng tử thứ hai $-5xy^3$ có số mũ của $x$ là $1$ ($1 < 2$) sẽ không thể chia hết cho $x^2$!
Đề bài yêu cầu $m$ là số nguyên dương ($m \in \mathbb{N}^* \implies m \ge 1$), do đó $m = 0$ bị loại.
Để chia hết, số mũ $m$ của $x$ trong số chia phải nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của $x$ trong mọi hạng tử của $A$.
Đa thức chia hết cho đơn thức khi và chỉ khi mọi hạng tử của đa thức đều chia hết cho đơn thức đó.
Cho biểu thức $P = 5x(3x^2y - 2xy^2 + 1) - 3xy(5x^2 - 3xy) + x^2y^2$. Sau khi rút gọn, biểu thức $P$ và giá trị của $x$ để $P = 10$ là:
Hãy khai triển từng phần tử: $5x \cdot 3x^2y = 15x^3y$ và $-3xy \cdot 5x^2 = -15x^3y$. Chúng triệt tiêu nhau hoàn toàn! Tương tự với các hạng tử chứa $x^2y^2$.
Ta có $-10x^2y^2 + 9x^2y^2 + x^2y^2 = (-10 + 9 + 1)x^2y^2 = 0x^2y^2 = 0$. Biến $y$ đã bị triệt tiêu hoàn toàn!
Khi lấy $5x \cdot (+1)$, ta nhận được $5x$, không phải số $5$. Vì vậy $P = 5x$.
Một biểu thức "không phụ thuộc vào biến $y$" nghĩa là sau khi thu gọn triệt để, biến $y$ hoàn toàn biến mất (hệ số trước các lũy thừa của $y$ đều bằng 0).
Một đa thức hai biến $x, y$ bậc hai (đã thu gọn) có thể có nhiều nhất bao nhiêu hạng tử khác 0?
3 hạng tử ($x^2, xy, y^2$) mới chỉ là các hạng tử bậc 2. Một đa thức bậc hai còn có thể chứa các hạng tử bậc 1 và hạng tử tự do nữa!
Các hạng tử bậc 2 gồm 3 dạng, các hạng tử bậc 1 gồm 2 dạng ($x$ và $y$). Ngoài ra còn có thêm số hạng tự do (hằng số, bậc 0). Tổng cộng là bao nhiêu?
Hãy viết dạng tổng quát của đa thức hai biến $x, y$ bậc hai: $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f$. Có bao nhiêu hệ số khác 0 tối đa?
Đa thức bậc hai thu gọn có thể chứa các hạng tử có bậc từ bậc 2 trở xuống (bậc 2, bậc 1, bậc 0). Đếm tối đa số hạng tử chính là đếm tất cả các tổ hợp đơn thức có bậc $\le 2$.
Cho biểu thức $Q = 3x^3(x^5 - y^5) + y^5(3x^3 - y^3)$. Sau khi rút gọn, nếu biết $y^4 = x^4\sqrt{3}$, giá trị của biểu thức $Q$ bằng bao nhiêu?
Biểu thức rút gọn là $Q = 3x^8 - y^8$. Khi biết $y^4 = x^4\sqrt{3}$, hãy bình phương hai vế: $y^8 = (y^4)^2 = (x^4\sqrt{3})^2 = ?$.
Ta có $3x^8 - y^8$. Đây là phép trừ chứ không phải phép cộng $3x^8 + y^8$!
Lưu ý: $(\sqrt{3})^2 = 3$. Do đó $y^8 = 3x^8$, không còn chứa dấu căn thức nữa.
Trong các bài toán tính giá trị biểu thức bậc cao, luôn rút gọn biểu thức trước, sau đó tìm mối liên hệ lũy thừa của giả thiết để thay thế trực tiếp mà không cần tìm giá trị cụ thể của từng biến.
Thực hiện phép tính sau bằng cách đặt ẩn phụ $u = 2x - 5$: $$[8x^3(2x-5)^2 - 6x^2(2x-5)^3 + 10x(2x-5)^2] : 2x(2x-5)^2$$ Kết quả rút gọn cuối cùng theo biến $x$ là:
Thương phụ theo $u$ là: $4x^2 - 3xu + 5$. Khi thay $u = 2x - 5$, ta có: $-3x(2x - 5) = -6x^2 + 15x$. Sau đó cộng với $4x^2$: $4x^2 - 6x^2 = -2x^2$ chứ không phải $+10x^2$!
Chú ý cụm $-3xu = -3x(2x - 5)$. Biến $x$ ở ngoài phải nhân phân phối vào cả hai số hạng bên trong ngoặc!
Vì đã chia cho $2x$ nên bậc của $x$ giảm đi 1 bậc: $8x^3 : 2x = 4x^2$, kết quả không thể còn bậc 3.
Phương pháp đặt ẩn phụ giúp biến đổi các biểu thức phức tạp, cồng kềnh về dạng đơn giản, tránh nhầm lẫn dấu ngoặc và lũy thừa trong quá trình tính toán.
Bà Khanh dự định mua $x$ hộp sữa, mỗi hộp giá $y$ đồng. Khi đến cửa hàng, giá sữa giảm $1\,500$ đồng mỗi hộp nên bà quyết định mua thêm $3$ hộp nữa. Đa thức biểu thị tổng số tiền thực tế bà Khanh phải thanh toán là:
Bà Khanh mua thêm 3 hộp (số lượng là $x + 3$) và giá giảm 1 500 đồng (đơn giá là $y - 1500$). Hãy chú ý lại dấu cộng và trừ!
Tất cả số hộp sữa mua đều được tính theo giá đã giảm $(y - 1500)$, không thể tính 3 hộp mua thêm với giá cũ $y$ đồng.
Giá sữa giảm $1\,500$ đồng trên mỗi hộp, chứ không phải giảm $1\,500$ đồng trên toàn bộ hóa đơn thanh toán.
Trong bài toán thực tế, luôn xác định rõ các đại lượng: $\text{Tổng số tiền} = \text{Số lượng thực tế} \times \text{Đơn giá thực tế}$ trước khi nhân đa thức.
Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài $y$ (cm) và chiều rộng $z$ (cm), người ta cắt bỏ 4 hình vuông cạnh $x$ (cm) ở 4 góc rồi gấp thành chiếc hộp không nắp. Đa thức biểu thị thể tích $V(x, y, z)$ của chiếc hộp và bậc của đa thức đó là:
Trên chiều dài $y$ bị cắt ở cả 2 góc, mỗi góc một đoạn $x$. Do đó chiều dài đáy hộp sau khi gấp phải là $y - 2x$, không phải $y - x$!
Biểu thức $(y - 2x)(z - 2x)$ mới chỉ là diện tích mặt đáy! Chiếc hộp khi dựng lên có chiều cao là $x$. Thể tích phải lấy diện tích đáy nhân chiều cao.
Cắt góc đi thì kích thước đáy phải giảm đi: $(y - 2x)$ và $(z - 2x)$, không thể mang dấu cộng.
Bài toán gấp hộp chữ nhật là bài toán thực tế nền tảng: Cắt 4 góc luôn làm giảm mỗi chiều kích thước đáy đi một lượng $2x$, và chiều cao dựng lên chính là $x$.
Bạn đã hoàn thành xuất sắc tất cả 14 chặng kiến thức: từ khởi động hình học, điều kiện chia hết của đơn thức, xử lý dấu âm và số thập phân, biện luận số mũ tham số $m$, chứng minh độc lập biến, tư duy cấu trúc đa thức, đến kỹ thuật đặt ẩn phụ và mô hình hóa đại số.