• Trong \(\Delta OAB\), theo bất đẳng thức tam giác: \(AB < OA + OB = R + R = 2R\).

• Khi dây đi qua tâm, độ dài của nó đạt giá trị lớn nhất bằng đúng \(2R\).

• Kết luận định lí: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất (\(AB \le 2R\)).

• \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow OA = OB = OC = \frac{BC}{2}\).

• \(\Delta DBC\) vuông tại \(D \Rightarrow OD = OB = OC = \frac{BC}{2}\).

• Do đó bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng cách đều \(O\) một khoảng bằng \(\frac{BC}{2}\), tức cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

• Đoạn \(AD\) là dây cung không đi qua tâm, áp dụng định lí dây lớn nhất: \(AD < BC\).

• Trong \(\Delta ABC\), theo bất đẳng thức tam giác: \(AB + AC > BC\).

• Do \(BC\) là đường kính nên mọi dây không qua tâm đều nhỏ hơn đường kính: \(AB < BC\) và \(AC < BC\).

• Cộng hai vế: \(AB + AC < BC + BC = 2BC\).

• Kết hợp lại ta được chuỗi bất đẳng thức: \(BC < AB + AC < 2BC\).

• Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

• Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn bởi góc ở tâm đó.

• Khi góc không bẹt, cung bị chắn là cung nhỏ.

• Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó: \(\text{sđ}\overset{\frown}{AmB} = \alpha\).

• Số đo cung lớn: \(\text{sđ}\overset{\frown}{AnB} = 360^\circ - \alpha\).

• Vì góc \(\alpha < 180^\circ \Rightarrow 360^\circ - \alpha > 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ\). Do đó số đo cung lớn luôn lớn hơn \(180^\circ\).

• Nếu \(A\) là một điểm thuộc cung \(\overset{\frown}{BAC}\) thì:

$$\text{sđ}\overset{\frown}{BAC} = \text{sđ}\overset{\frown}{BA} + \text{sđ}\overset{\frown}{AC}$$

• Bản chất là do tia \(OA\) nằm giữa hai tia \(OB\) và \(OC\), dẫn đến: \(\widehat{BOC} = \widehat{BOA} + \widehat{AOC}\).

• Do \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên đường trung tuyến \(AO\) đồng thời là đường cao \(\Rightarrow AO \perp BC \Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{AOC} = 90^\circ\).

• Góc ở tâm \(\widehat{AOB} = 90^\circ \Rightarrow \text{sđ}\overset{\frown}{AB} = 90^\circ\).

• Cung lớn \(\overset{\frown}{ACB}\) có chung hai mút \(A, B\) với cung nhỏ: \(\text{sđ}\overset{\frown}{ACB} = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ\).

• Điểm \(A\) thuộc trung trực của \(OC \Rightarrow AC = AO = R\). Vì \(OC = R\) nên \(\Delta OAC\) là tam giác đều \(\Rightarrow \widehat{AOC} = 60^\circ\).

• Tương tự, \(\Delta OBC\) đều \(\Rightarrow \widehat{BOC} = 60^\circ\).

• Do đó \(\widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{BOC} = 120^\circ \Rightarrow \text{sđ}\overset{\frown}{ACB} = 120^\circ\).

• Cung lớn \(\overset{\frown}{ABC} = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\).

• Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AB\) \(\Rightarrow d(M, AB) = MH\).

• Trong tam giác vuông \(OHM\) vuông tại \(H\), cạnh góc vuông luôn không vượt quá cạnh huyền:

$$MH \le OM = R = \frac{AB}{2}$$

• Dấu bằng xảy ra khi \(H\) trùng \(O\), tức \(OM \perp AB\) hay \(M\) là điểm chính giữa của nửa đường tròn.

• \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) có đường cao \(OH\) đồng thời là trung tuyến và phân giác:

$$AH = \frac{AB}{2} = 3\text{ cm}, \quad \widehat{AOH} = \alpha$$

• Theo định lí Pythagore trong \(\Delta OHA\): \(OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\text{ cm}\).

• Tỉ số lượng giác: \(\tan \alpha = \frac{AH}{OH} = \frac{3}{4} = 0{,}75\).

• Đầu kim phút: 1 giờ (\(60\) phút) quay \(360^\circ \Rightarrow\) Vận tốc: \(6^\circ/\text{phút}\).

Sau 36 phút vạch nên cung: \(36 \times 6^\circ = 216^\circ\).

• Đầu kim giờ: 1 giờ quay 1 khoảng giờ (\(\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ\)) \(\Rightarrow\) Vận tốc: \(\frac{30^\circ}{60} = 0{,}5^\circ/\text{phút}\).

Sau 36 phút vạch nên cung: \(36 \times 0{,}5^\circ = 18^\circ\).