Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn & Ôn Tập Toàn Diện
Phương pháp gợi mở từng bước Socratic • Tương tác phản hồi tức thì
Câu 1 / 264%
Chủ đề 1: Khái niệm & Nhận diện BPT
Một bạn học sinh tìm hiểu định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Trong các hệ thức sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$?
💡 Gợi ý tư duy: Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát $ax + b < 0$ (hoặc $> 0, \le 0, \ge 0$) với $a \ne 0$ và số mũ cao nhất của ẩn là 1, ẩn không nằm dưới mẫu thức.
🎯 Điểm cốt lõi: Hệ thức $-5x + 5 > 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ vì có dạng $ax + b > 0$ với $a = -5 \ne 0$. Hệ thức $x^2 - 4 > 0$ là bậc hai, $0x + 7 \le 0$ có $a = 0$ làm mất ẩn, còn $\frac{1}{x} - 2 \ge 0$ chứa ẩn ở mẫu thức.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 1: Khái niệm & Nhận diện BPT
Phân biệt các đa thức bậc nhất và đa thức bậc cao hơn.
Hệ thức nào dưới đây KHÔNG PHẢI là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
💡 Gợi ý tư duy: Hãy chú ý số mũ của ẩn $x$. Để là bậc nhất, số mũ của ẩn $x$ phải bằng 1.
🎯 Điểm cốt lõi: $x^3 > 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì ẩn $x$ có số mũ là 3 (bậc ba). Các hệ thức $-3x + 7 \le 0$, $4x - \frac{3}{2} > 0$ và $-3x < 0$ đều là bậc nhất một ẩn.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 2: Khái niệm Nghiệm & Tập nghiệm
Xét bất phương trình $3x + 8 < 20$. Ta kiểm tra xem giá trị nào là nghiệm.
Khi thay lần lượt $x = \frac{4}{3}$ và $x = 5$ vào bất phương trình $3x + 8 < 20$, kết luận nào sau đây là đúng?
💡 Gợi ý tư duy: Thử tính giá trị: Thay $x = 4/3$ ta có $3(4/3) + 8 = 4 + 8 = 12 < 20$ (đúng hay sai?). Thay $x = 5$ ta có $3(5) + 8 = 23 < 20$ (đúng hay sai?).
🎯 Điểm cốt lõi: Thay $x = 4/3$ được khẳng định đúng $12 < 20$ nên $x = 4/3$ là một nghiệm. Thay $x = 5$ được khẳng định sai $23 < 20$ nên $x = 5$ không phải là nghiệm.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 2: Khái niệm Nghiệm & Tập nghiệm
Cho bất phương trình $2x - 10 < 0$ và ba giá trị $\{-2;\; 0;\; 5\}$.
Trong ba số $\{-2;\; 0;\; 5\}$, những số nào là nghiệm của bất phương trình $2x - 10 < 0$?
💡 Gợi ý tư duy: Với $x = -2$: $2(-2) - 10 = -14 < 0$ (Đúng). Với $x = 0$: $2(0) - 10 = -10 < 0$ (Đúng). Với $x = 5$: $2(5) - 10 = 0 < 0$ (Khẳng định $0 < 0$ là sai).
🎯 Điểm cốt lõi: Nghiệm của bất phương trình là mọi giá trị thỏa mãn khẳng định đúng. Cả $-2$ và $0$ đều là nghiệm. Bất phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn miền $x < 5$.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 3: Quy tắc Biến đổi & Đổi chiều số âm
Quan sát trên trục số khi nhân với số âm.
Cho khẳng định đúng $2 < 4$. Nếu nhân cả hai vế với số âm $-1$, bất đẳng thức đúng nhận được là gì?
💡 Gợi ý tư duy: Trên trục số, điểm $-2$ nằm bên phải điểm $-4$. Số nằm bên phải luôn lớn hơn số nằm bên trái.
🎯 Điểm cốt lõi: Vì $-2$ nằm bên phải $-4$ trên trục số nên $-2 > -4$. Dấu $<$ ban đầu đã đảo chiều thành $>$. Quy tắc: Khi nhân/chia hai vế cho số âm, bắt buộc phải đổi chiều!
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 4: Giải BPT bậc nhất cơ bản
Thực hiện các bước giải bất phương trình bậc nhất: $-2x - 4 > 0$.
Tập nghiệm của bất phương trình $-2x - 4 > 0$ là:
💡 Gợi ý tư duy: Chuyển $-4$ sang vế phải thành $+4$, ta có $-2x > 4$. Chia cả hai vế cho $-2$. Lưu ý đổi chiều dấu $>$ thành $<$.
🎯 Điểm cốt lõi: $-2x - 4 > 0 \iff -2x > 4 \iff x < \frac{4}{-2} \iff x < -2$. Chiều bất đẳng thức đổi từ $>$ sang $<$ vì chia cho số âm $-2$.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 4: Giải BPT bậc nhất cơ bản
Giải bất phương trình $6x + 5 < 0$.
Nghiệm của bất phương trình $6x + 5 < 0$ là:
💡 Gợi ý tư duy: Chuyển $+5$ sang vế phải thành $-5$, ta được $6x < -5$. Chia cả hai vế cho hệ số dương $6$. Chiều có bị đổi không?
🎯 Điểm cốt lõi: $6x + 5 < 0 \iff 6x < -5 \iff x < -\frac{5}{6}$. Vì chia cho hệ số dương $6 > 0$ nên dấu $<$ được giữ nguyên chiều.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 5: BPT có ẩn ở cả hai vế
Giải bất phương trình $2x + 5 < 3x - 4$ bằng biến đổi tương đương.
Nghiệm của bất phương trình $2x + 5 < 3x - 4$ là:
💡 Gợi ý tư duy: Chuyển ẩn sang vế trái: $2x - 3x < -4 - 5 \iff -x < -9$. Chia hai vế cho $-1$ và đổi chiều.
🎯 Điểm cốt lõi: $2x - 3x < -4 - 5 \iff -x < -9 \iff x > 9$. Hoặc chuyển sang vế phải: $5 + 4 < 3x - 2x \iff 9 < x \iff x > 9$.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 5: BPT có ẩn ở cả hai vế
Giải bất phương trình $-3x + 5 \ge -4x + 3$.
Tập nghiệm của bất phương trình $-3x + 5 \ge -4x + 3$ là:
💡 Gợi ý tư duy: Chuyển $-4x$ sang vế trái và $5$ sang vế phải: $-3x + 4x \ge 3 - 5$.
🎯 Điểm cốt lõi: Ta có $-3x + 4x \ge 3 - 5 \iff x \ge -2$. Việc chuyển vế khéo léo giúp hệ số của $x$ mang dấu dương ($+1$) và không cần nhân/chia với số âm.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 5: BPT chứa ngoặc đơn
Giải bất phương trình $2x + 3(x + 1) > 5x - (2x - 4)$.
Nghiệm của bất phương trình $2x + 3(x + 1) > 5x - (2x - 4)$ là:
💡 Gợi ý tư duy: Phá ngoặc ở hai vế: Vế trái: $2x + 3x + 3 = 5x + 3$. Vế phải: $5x - 2x + 4 = 3x + 4$. Sau đó chuyển vế thu gọn.
🎯 Điểm cốt lõi: $3x = -10 \iff x = -\frac{10}{3}$. Giá trị này khác $\pm 5$ nên thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -\frac{10}{3}$.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 7: Cạm bẫy ĐKXĐ và Nghiệm ngoại lai
Giải phương trình $\frac{1}{x+1} - \frac{x}{x^2-x+1} = \frac{3}{x^3+1}$ (với $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$).
Tập nghiệm $S$ của phương trình $\frac{1}{x+1} - \frac{x}{x^2-x+1} = \frac{3}{x^3+1}$ là:
💡 Gợi ý tư duy: ĐKXĐ là $x \ne -1$. Quy đồng và rút gọn: $(x^2 - x + 1) - x(x + 1) = 3 \iff 1 - 2x = 3 \iff -2x = 2 \iff x = -1$. Đối chiếu lại với ĐKXĐ!
🎯 Điểm cốt lõi: Giá trị tìm được $x = -1$ làm cho mẫu thức $x + 1 = 0$, vi phạm ĐKXĐ nên bị loại. Phương trình không có nghiệm thỏa mãn, do đó $S = \emptyset$.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 8: Phương trình chứa tham số
Cho phương trình $x - 1 = m + 4$ ($m$ là tham số).
Phương trình $x - 1 = m + 4$ có nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi:
💡 Gợi ý tư duy: Rút $x$ theo $m$: $x = m + 4 + 1 = m + 5$. Để nghiệm lớn hơn 1: $x > 1 \iff m + 5 > 1$.
🎯 Điểm cốt lõi: $m + 5 > 1 \iff m > 1 - 5 \iff m > -4$. Chú ý là dấu lớn hơn ngặt ($>$).
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 9: Tính chất Bất đẳng thức
Cho biết $a > b$. Ta kiểm tra tính đúng đắn của các khẳng định bất đẳng thức.
Khẳng định nào sau đây là chắc chắn đúng với mọi số thực $a > b$
💡 Gợi ý tư duy: Tính chất BĐT: Nhân hai vế với số dương 5 thì giữ nguyên chiều: $5a > 5b$. Cộng thêm 1 vào hai vế: $5a + 1 > 5b + 1$. Các khẳng định còn lại có thể sai khi thay số cụ thể (ví dụ $a = 2, b = 1$).
🎯 Điểm cốt lõi: Vì $a > b$, nhân hai vế với số dương 5 ta được $5a > 5b$, cộng thêm 1 ta được $5a + 1 > 5b + 1$ luôn đúng. Các đáp án khác không luôn đúng: Ví dụ với $a = 2, b = 1$ thì $2a = 4$ nhưng $3b = 3$ (đúng), nhưng nếu $a = 2, b = 1,8$ thì $2(2) = 4 < 3(1,8) = 5,4$ (sai).
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 9: Tính chất Bất đẳng thức
Cho biết $a < b$. So sánh hai biểu thức $-2a - 3$ và $-(a + b) - 3$.
Khẳng định so sánh nào sau đây là đúng?
💡 Gợi ý tư duy: Ta có $a < b \iff -a > -b \iff -2a > -(a + b)$. Trừ 3 vào hai vế: $-2a - 3 > -(a + b) - 3$.
🎯 Điểm cốt lõi: Từ $a < b \implies -a > -b \implies -a - a > -b - a \implies -2a > -(a + b) \implies -2a - 3 > -(a + b) - 3$.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 10: Bài toán ngân sách mua đồ dùng
Bạn Thanh có 100 nghìn đồng. Mua 1 bút giá 18 nghìn đồng và một số quyển vở giá 7 nghìn đồng/quyển ($x \in \mathbb{N}^*$).
Bạn Thanh có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?
💡 Gợi ý tư duy: BPT ngân sách: $7x + 18 \le 100 \iff 7x \le 82 \iff x \le \frac{82}{7} \approx 11,71$. Vì $x$ nguyên dương nên ta lấy số nguyên lớn nhất không vượt quá 11,71.
🎯 Điểm cốt lõi: $x \le 11,71 \implies$ tối đa 11 quyển vở ($11 \times 7 + 18 = 95$ nghìn). Nếu mua 12 quyển sẽ tốn 102 nghìn (vượt quá 100 nghìn). Điều kiện $\le$ luôn làm tròn sàn.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 10: Tiền gửi ngân hàng & Làm tròn trần
Bà Mai gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng với lãi suất 7,4%/năm. Bà muốn số tiền lãi hằng năm ít nhất là 60 triệu đồng.
Số tiền bà Mai cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?
💡 Gợi ý tư duy: Gọi $x$ là số tiền gửi: $0,074x \ge 60 \iff x \ge \frac{60}{0,074} \approx 810,81$. Để lãi không dưới 60 triệu, ta phải làm tròn lên số nguyên nào?
🎯 Điểm cốt lõi: $x \ge 810,81$ triệu đồng. Nếu chỉ gửi 810 triệu, lãi nhận được chỉ là $810 \times 0,074 = 59,94$ triệu (< 60 triệu). Do đó phải gửi ít nhất 811 triệu đồng (làm tròn trần).
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 10: Bài toán cước xe taxi
Một hãng taxi tính giá mở cửa là 15 nghìn đồng (cho 1 km đầu) và 12 nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo.
Với số tiền 200 nghìn đồng, hành khách có thể di chuyển tối đa bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
💡 Gợi ý tư duy: Gọi tổng quãng đường đi là $x$ km ($x \ge 1$). Cước phải trả gồm 15 nghìn mở cửa + 12 nghìn cho $(x - 1)$ km tiếp theo: $15 + 12(x - 1) \le 200 \iff 12x + 3 \le 200 \iff 12x \le 197$.
🎯 Điểm cốt lõi: $12x \le 197 \iff x \le \frac{197}{12} \approx 16,42$ km. Vì số tiền có hạn nên tối đa đi được 16 km. Kiểm tra: $15 + 12 \times 15 = 195$ nghìn đồng (hợp lệ).
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 10: Bài toán tải trọng xe tải
Xe tải có trọng tải tối đa cho phép là 5,25 tấn (5250 kg). Bác tài xế nặng 65 kg. Mỗi thùng sữa nặng 10 kg.
Xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng sữa như vậy?
💡 Gợi ý tư duy: BPT tải trọng: $10x + 65 \le 5250 \iff 10x \le 5185 \iff x \le 518,5$. Số thùng sữa tối đa là bao nhiêu?
🎯 Điểm cốt lõi: $x \le 518,5$. Nếu chở 519 thùng thì khối lượng là $5190 + 65 = 5255$ kg (quá tải). Do đó xe chỉ được chở tối đa 518 thùng (làm tròn sàn).
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 11: Bài toán thi tuyển & Đội tuyển thể thao
Để lập đội tuyển bóng rổ, mỗi bạn ném 15 quả bóng: vào rổ $+2$ điểm, ra ngoài $-1$ điểm. Cần đạt từ 15 điểm trở lên để được chọn.
Một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném vào rổ ít nhất bao nhiêu quả?
💡 Gợi ý tư duy: Gọi số quả vào rổ là $x$ ($0 \le x \le 15$). Số quả ra ngoài là $15 - x$. Tổng điểm: $2x - 1(15 - x) = 3x - 15 \ge 15$.
🎯 Điểm cốt lõi: $3x - 15 \ge 15 \iff 3x \ge 30 \iff x \ge 10$. Học sinh phải ném vào rổ ít nhất 10 quả. Khi đó điểm đạt được là $10(2) - 5(1) = 15$ điểm.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 12: Tối ưu kinh tế & Điểm hòa vốn viễn thông
Tại thời gian gọi là bao nhiêu phút trong một tháng thì cước phí hai gói bằng nhau (điểm hòa vốn)? Và nếu khách hàng gọi 180 phút thì nên dùng gói nào?
🎯 Điểm cốt lõi: Hai gói cước hòa vốn tại 200 phút (cùng giá 94 USD). Khi gọi dưới 200 phút (ví dụ 180 phút), Gói A chỉ tốn 86 USD rẻ hơn Gói B (89 USD), nên chọn Gói A.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
Chủ đề 13: Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
Khám phá mục 'Em có biết?' về bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số không âm.
Cho hai số thực $a \ge 0, b \ge 0$. Bất đẳng thức Cauchy khẳng định điều gì và đẳng thức xảy ra khi nào?
💡 Gợi ý tư duy: Trung bình cộng của hai số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Dấu bằng xảy ra khi hai số bằng nhau.
🎯 Điểm cốt lõi: Với $a, b \ge 0$, ta luôn có $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Đẳng thức xảy ra $\iff a = b$. Chứng minh: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 \iff a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0 \iff a + b \ge 2\sqrt{ab} \iff \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
⏳ Tự động chuyển tiếp sau 5 giây...
Toán 9 • Chương II
🏆
Chúc Mừng! Bạn Đã Hoàn Thành Xuất Sắc!
Bạn đã làm chủ trọn vẹn toàn bộ 26 chặng tư duy Socratic bao quát Bài 6 (Bất phương trình bậc nhất một ẩn) và Bài tập ôn cuối chương II.
Tổng kết các trụ cột kiến thức then chốt:
BPT bậc nhất một ẩn: Dạng $ax + b < 0$ (hoặc $> 0, \le 0, \ge 0$) với điều kiện bắt buộc $a \ne 0$.
Quy tắc đảo chiều: Khi nhân hoặc chia hai vế cho số âm, bắt buộc phải đổi chiều bất phương trình.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Luôn tìm ĐKXĐ trước tiên và đối chiếu nghiệm để tránh nghiệm ngoại lai làm mẫu bằng 0.
Mô hình hóa thực tế: Chú ý điều kiện nguyên của biến rời rạc và cân nhắc chính xác giữa làm tròn trần (ngưỡng tối thiểu $\ge$) và làm tròn sàn (giới hạn tối đa $\le$).
Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM): Cho hai số không âm: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.