Toán 9 • Khám Phá Kiến Thức Tương Tác Socratic Toàn Diện
Câu 1 / 24Phần 1: Khái niệm Căn bậc hai & Căn bậc hai số học
Phần 1: Khái niệm Căn bậc hai & Căn bậc hai số học
Xét bài toán tìm các số thực $x$ sao cho khi bình phương lên ta nhận được số $49$, tức là giải phương trình $x^2 = 49$.
Có bao nhiêu số thực $x$ thoả mãn đẳng thức $x^2 = 49$ và các số đó là gì?
Gợi ý tư duy: Hãy nhớ quy tắc dấu: $(-7) \times (-7) = 49$. Liệu số âm $-7$ khi bình phương lên có thoả mãn đẳng thức $x^2 = 49$ không?
Ghi nhớ cốt lõi: Căn bậc hai của số thực không âm $a$ là số thực $x$ sao cho $x^2 = a$. Mọi số dương $a$ luôn có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 1: Khái niệm Căn bậc hai & Căn bậc hai số học
Khi làm bài tập tìm căn bậc hai của số $81$, bạn An viết $\sqrt{81} = \pm 9$, còn bạn Bình khẳng định $\sqrt{81} = 9$.
Nhận định nào sau đây là chuẩn xác nhất theo định nghĩa và quy ước ký hiệu toán học?
Gợi ý tư duy: Phân biệt giữa câu hỏi ngôn ngữ: 'Tìm các căn bậc hai của $81$' (có 2 số: $9$ và $-9$) với biểu thức ký hiệu $\sqrt{81}$. Ký hiệu $\sqrt{\dots}$ luôn được quy ước nhận giá trị không âm.
Ghi nhớ cốt lõi: Ký hiệu $\sqrt{a}$ biểu thị căn bậc hai số học của số không âm $a$ và luôn thỏa mãn $\sqrt{a} \ge 0$. Viết $\sqrt{81} = \pm 9$ là sai quy ước ký hiệu.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 1: Khái niệm Căn bậc hai & Căn bậc hai số học
Xét hai số thực đặc biệt: số $0$ và số âm $-16$.
Khẳng định nào sau đây là đúng về căn bậc hai trong tập số thực $\mathbb{R}$?
Gợi ý tư duy: Liệu có số thực $x$ nào mà $x^2 = -16$ không? Trong khi đó, với số $0$, chỉ có số nào thoả mãn $x^2 = 0$?
Ghi nhớ cốt lõi: Vì bình phương của mọi số thực đều không âm ($x^2 \ge 0$), nên số âm không có căn bậc hai; số $0$ có duy nhất một căn bậc hai là $0$ (viết là $\sqrt{0} = 0$).
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 1: Khái niệm Căn bậc hai & Căn bậc hai số học
Cần tìm tất cả các căn bậc hai của số chính phương $121$.
Các căn bậc hai của số $121$ là những số nào?
Gợi ý tư duy: Nhận thấy $11^2 = 121$ và $(-11)^2 = 121$. Đề bài hỏi 'các căn bậc hai' của số dương $121$.
Ghi nhớ cốt lõi: Số dương $121$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau: căn bậc hai số học $\sqrt{121} = 11$ và số đối của nó là $-\sqrt{121} = -11$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 1: Khái niệm Căn bậc hai & Căn bậc hai số học
Cần tìm tất cả các căn bậc hai của phân số dương $\dfrac{9}{100}$.
Các căn bậc hai của phân số $\dfrac{9}{100}$ là những số nào?
Gợi ý tư duy: Lấy căn bậc hai số học của tử số và mẫu số: $\sqrt{9} = 3$ và $\sqrt{100} = 10$. Một số thực dương luôn có mấy căn bậc hai?
Ghi nhớ cốt lõi: Số dương $a = \dfrac{9}{100}$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{\dfrac{9}{100}} = \dfrac{3}{10}$ và $-\sqrt{\dfrac{9}{100}} = -\dfrac{3}{10}$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 2: Tính chất, So sánh & Máy tính cầm tay
Xét biểu thức số học $M = \sqrt{(-5)^2}$.
Giá trị chính xác của biểu thức $M$ là bao nhiêu?
Gợi ý tư duy: Biểu thức dưới dấu căn là $(-5)^2 = 25 > 0$, do đó căn thức hoàn toàn có nghĩa. Nhớ rằng căn bậc hai số học luôn không âm: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Ghi nhớ cốt lõi: Tính chất nền tảng: $\sqrt{a^2} = |a|$ với mọi số thực $a$. Do đó $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$ (kết quả không bao giờ âm).
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 2: Tính chất, So sánh & Máy tính cầm tay
Tính giá trị của hai biểu thức có chứa số âm: $A = \sqrt{(-4,9)^2}$ và $B = -\sqrt{(-0,001)^2}$.
Kết quả tính đúng của $A$ và $B$ là:
Gợi ý tư duy: Áp dụng $\sqrt{a^2} = |a|$: ta có $\sqrt{(-4,9)^2} = |-4,9| = 4,9$. Với $B$, dấu trừ nằm ở phía ngoài dấu căn: $B = -|-0,001| = ?$
Cần tính giá trị biểu thức $E = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2}$ mà không dùng máy tính cầm tay.
Rút gọn biểu thức $E$ ta được kết quả là:
Gợi ý tư duy: Áp dụng $\sqrt{A^2} = |A|$: vì $1 + \sqrt{2} > 0$ nên $\sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1 + \sqrt{2}$. Thay vào biểu thức $E$ rồi rút gọn các số hạng đối nhau.
Ghi nhớ cốt lõi: Ta có $\sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = |1+\sqrt{2}| = 1+\sqrt{2}$. Khi đó $E = 1 - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 2$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 2: Tính chất, So sánh & Máy tính cầm tay
So sánh số $3$ và số vô tỉ $\sqrt{10}$ bằng phương pháp đại số dựa vào tính chất đã học.
Khẳng định nào sau đây đúng và có lập luận chặt chẽ nhất?
Gợi ý tư duy: Đưa số $3$ về dạng căn bậc hai số học: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$. Áp dụng định lý: với $0 \le a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
Ghi nhớ cốt lõi: Định lý so sánh: Với $a, b \ge 0$, ta có $a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}$. Vì $3 = \sqrt{9}$ và $9 < 10$ nên $3 < \sqrt{10}$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 2: Tính chất, So sánh & Máy tính cầm tay
Dùng máy tính cầm tay để tìm các căn bậc hai của phân số $\dfrac{7}{11}$ và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.
Kết quả làm tròn chuẩn xác của các căn bậc hai của $\dfrac{7}{11}$ là:
Gợi ý tư duy: Bấm $\sqrt{7/11} \approx 0,79772...$ Chữ số ở hàng phần nghìn là $7 \ge 5$ nên làm tròn lên thành $0,80$. Và số dương có 2 căn bậc hai đối nhau.
Ghi nhớ cốt lõi: Màn hình MTCT cho $\sqrt{7/11} \approx 0,7977... \approx 0,80$. Do đó phân số $\dfrac{7}{11}$ có hai căn bậc hai xấp xỉ là $0,80$ và $-0,80$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 3: Căn thức bậc hai & Điều kiện xác định
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có hai cạnh góc vuông $AB = 3\text{ cm}$ và $AC = x\text{ cm}$ ($x > 0$).
Biểu thức tính độ dài cạnh huyền $BC$ là gì và biểu thức dưới dấu căn là gì?
Gợi ý tư duy: Định lý Pythagore: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + x^2 = 9 + x^2$. Chú ý: căn bậc hai không phân phối với phép cộng ($\sqrt{9+x^2} \ne 3+x$).
Ghi nhớ cốt lõi: Căn thức bậc hai có dạng $\sqrt{A}$, với $A$ là biểu thức đại số (gọi là biểu thức lấy căn hoặc dưới dấu căn). Ở đây $BC = \sqrt{9 + x^2}$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 3: Căn thức bậc hai & Điều kiện xác định
Cho biểu thức $C = \sqrt{2x - 1}$. Ta muốn tính giá trị của $C$ tại $x = 5$ và xét khả năng tính tại $x = 0$.
Khẳng định nào sau đây giải thích chính xác về giá trị của biểu thức $C$?
Gợi ý tư duy: Thay $x=5$: $2(5)-1 = 9 \Rightarrow \sqrt{9}=3$. Khi thay $x=0$: $2(0)-1 = -1$. Trong tập số thực $\mathbb{R}$, số âm có căn bậc hai không?
Ghi nhớ cốt lõi: Căn thức $\sqrt{A}$ chỉ xác định khi $A \ge 0$. Tại $x = 0$, biểu thức dưới căn là $-1 < 0$ nên căn thức không có nghĩa trong tập số thực.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 3: Căn thức bậc hai & Điều kiện xác định
Xét căn thức bậc hai $\sqrt{2x + 1}$.
Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{2x + 1}$ là gì và giá trị của căn thức tại $x = 4$ bằng bao nhiêu?
Ghi nhớ cốt lõi: Điều kiện xác định: $2x+1 \ge 0 \iff x \ge -\dfrac{1}{2}$. Tại $x = 4$, căn thức có giá trị là $\sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 3: Căn thức bậc hai & Điều kiện xác định
Cho căn thức $\sqrt{5 - 2x}$ có chứa hệ số âm gắn liền với biến số $x$.
Điều kiện xác định của căn thức là gì và giá trị của căn thức tại $x = 2$ bằng bao nhiêu?
Gợi ý tư duy: Giải bất phương trình: $5 - 2x \ge 0 \iff -2x \ge -5$. Khi chia cho $-2$, nhớ đổi chiều bất đẳng thức. Tại $x = 2$, $\sqrt{5-2(2)} = \sqrt{1} = ?$
Ghi nhớ cốt lõi: $5 - 2x \ge 0 \iff -2x \ge -5 \iff x \le \dfrac{5}{2}$. Tại $x = 2$ (thoả mãn ĐKXĐ), giá trị căn thức là $\sqrt{5 - 2(2)} = \sqrt{1} = 1$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 3: Căn thức bậc hai & Điều kiện xác định
Tìm điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{x + 10}$ và tính giá trị của căn thức tại $x = -1$.
Kết quả tìm điều kiện và tính giá trị chính xác là:
Gợi ý tư duy: Biểu thức dưới dấu căn không âm: $x + 10 \ge 0 \iff x \ge -10$. Tại $x = -1$, tính $\sqrt{-1+10} = \sqrt{9} = ?$
Ghi nhớ cốt lõi: ĐKXĐ là $x + 10 \ge 0 \iff x \ge -10$. Tại $x = -1 \ge -10$, giá trị căn thức là $\sqrt{-1+10} = \sqrt{9} = 3$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 4: Hằng đẳng thức căn thức & Kỹ thuật rút gọn
So sánh hai cấu trúc biến đổi toán học: $(\sqrt{A})^2$ và $\sqrt{A^2}$.
Khẳng định nào sau đây phân biệt chính xác bản chất giữa hai hằng đẳng thức này?
Gợi ý tư duy: $(\sqrt{A})^2$ chỉ viết được khi bản thân $\sqrt{A}$ có nghĩa ($A \ge 0$). Còn với $\sqrt{A^2}$, vì $A^2 \ge 0$ nên biểu thức luôn xác định, nhưng phá căn ra phải có dấu giá trị tuyệt đối.
Ghi nhớ cốt lõi: Phân biệt hai hằng đẳng thức: $(\sqrt{A})^2 = A$ (yêu cầu điều kiện $A \ge 0$). Còn $\sqrt{A^2} = |A|$ (xác định với mọi $A$, kết quả phá căn luôn qua dấu giá trị tuyệt đối).
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 4: Hằng đẳng thức căn thức & Kỹ thuật rút gọn
Rút gọn biểu thức $(\sqrt{1 - x})^2$ với giả thiết cho trước là $x < 0$.
Kết quả rút gọn của biểu thức $(\sqrt{1 - x})^2$ là:
Gợi ý tư duy: Với $x < 0$ thì $(-x) > 0 \Rightarrow 1 - x > 1 > 0$. Khi biểu thức dưới căn đã dương, áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức $(\sqrt{A})^2 = A$.
Ghi nhớ cốt lõi: Do $x < 0 \Rightarrow 1 - x > 0$. Áp dụng hằng đẳng thức $(\sqrt{A})^2 = A$ (với $A \ge 0$), ta được $(\sqrt{1-x})^2 = 1 - x$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 4: Hằng đẳng thức căn thức & Kỹ thuật rút gọn
Rút gọn biểu thức số vô tỉ $H = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$.
Kết quả rút gọn chính xác của $H$ là:
Gợi ý tư duy: Áp dụng $\sqrt{a^2} = |a| \Rightarrow \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}|$. So sánh $2 = \sqrt{4}$ với $\sqrt{5}$: hiệu $2 - \sqrt{5}$ âm hay dương? Khi phá dấu giá trị tuyệt đối của số âm ta làm thế nào?
Ghi nhớ cốt lõi: $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}|$. Vì $2 = \sqrt{4} < \sqrt{5} \Rightarrow 2-\sqrt{5} < 0$. Do đó $|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 4: Hằng đẳng thức căn thức & Kỹ thuật rút gọn
Rút gọn biểu thức $E = \sqrt{x^2 - 4x + 4}$ với điều kiện cho trước là $x < 2$.
Dạng rút gọn triệt để của biểu thức $E$ là:
Gợi ý tư duy: Biến đổi tam thức: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Khai căn: $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$. Khi $x < 2$, giá trị của $(x - 2)$ là âm hay dương?
Ghi nhớ cốt lõi: $E = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$. Do giả thiết $x < 2 \iff x - 2 < 0$, nên $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 4: Hằng đẳng thức căn thức & Kỹ thuật rút gọn
Rút gọn biểu thức đại số $M = 3\sqrt{x^2} - x + 1$ với điều kiện biến số $x < 0$.
Biểu thức rút gọn đúng của $M$ là:
Gợi ý tư duy: Áp dụng $\sqrt{x^2} = |x|$. Vì $x < 0$ nên $|x| = -x$. Thay vào: $3(-x) - x + 1 = ?$
Ghi nhớ cốt lõi: Vì $x < 0 \Rightarrow \sqrt{x^2} = |x| = -x$. Biểu thức trở thành: $M = 3(-x) - x + 1 = -3x - x + 1 = -4x + 1$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 4: Hằng đẳng thức căn thức & Kỹ thuật rút gọn
Cho biểu thức $Q = x\sqrt{x^6}$ với điều kiện biến số $x < 0$.
Rút gọn biểu thức $Q$ ta được kết quả là:
Gợi ý tư duy: Viết $x^6 = (x^3)^2$. Khai căn: $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. Với $x < 0$, lũy thừa bậc lẻ $x^3$ là số âm hay số dương? $|x^3|$ bằng gì?
Ghi nhớ cốt lõi: Tại $x = -2,5$, $2x-1 = -6 < 0 \Rightarrow \sqrt{(2x-1)^2} = 1-2x$. Biểu thức rút gọn là $P = x + (1-2x) = 1-x$. Giá trị tại $x = -2,5$ là $1 - (-2,5) = 3,5$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 5: Bài toán tổng hợp & Thực tiễn
Không dùng máy tính cầm tay, xét biểu thức $A = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} - \sqrt{(1 - 2\sqrt{2})^2}$.
Rút gọn biểu thức $A$ để chứng minh $A$ nhận giá trị là một số nguyên:
Gợi ý tư duy: Khai căn: $\sqrt{(1+2\sqrt{2})^2} = 1+2\sqrt{2}$ (vì $1+2\sqrt{2}>0$). Còn $\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2} = |1-2\sqrt{2}|$. Vì $1 = \sqrt{1} < 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ nên $1-2\sqrt{2} < 0 \Rightarrow |1-2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}-1$. Lấy số thứ nhất trừ số thứ hai.
Ghi nhớ cốt lõi: $A = (1+2\sqrt{2}) - |1-2\sqrt{2}| = (1+2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2}-1) = 1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 1 = 2$. Kết quả $A = 2$ là một số nguyên.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
Phần 5: Bài toán tổng hợp & Thực tiễn
Trong Vật lí, một vật rơi tự do theo công thức $S = 4,9t^2$ ($S$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây, $t > 0$). Ngoài ra, một ô đất trồng cây hình tròn có diện tích $S_0 = 2\text{ m}^2$ (diện tích $S_0 = \pi R^2 = \pi (d/2)^2$, với $\pi \approx 3,1416$).
Thời gian để vật rơi chạm đất từ độ cao $122,5\text{ m}$ và đường kính $d$ của ô đất xấp xỉ lần lượt là:
Ghi nhớ cốt lõi: Phương trình vật lý cho $t = \sqrt{122,5/4,9} = 5\text{ giây}$. Đường kính ô đất tròn là $d = 2\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx 1,60\text{ mét}$.
⏳ Tự động chuyển câu sau 5 giây...
Toán 9 • Socratic
🎉
Xuất Sắc! Bạn Đã Hoàn Thành Toàn Bộ Bài Học!
Bạn đã trải qua toàn bộ 24 câu hỏi dẫn dắt theo phương pháp Giàn giáo Socratic, làm chủ 100% các khái niệm, tính chất, điều kiện xác định, hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$, các bài tập biến đổi đại số nâng cao và ứng dụng thực tế của bài học.